OliForum Matematico

Dimostrare che
$ \frac{7}{7+7^{\frac{2}{15}}}+\frac{7}{7+7^{\frac{4}{15}}}+.......+\frac{7}{7+7^{\frac{28}{15}}}=7 $

Generalizzare la formula a :
$ \frac{k}{k+k^{\frac{2}{n}}}+\frac{k}{k+k^{\frac{4}{n}}}+.......+\frac{k}{k+k^{\frac{2n-2}{n}}}=? $

dove k e n sono numeri interi positivi con n dispari >=3

mmm questi sono cattivi ....ti mettono il 7 nell'esempio numerico per sviarti

Maioc92 ha scritto:mmm questi sono cattivi ....ti mettono il 7 nell'esempio numerico per sviarti

in che senso?
che poi non basta dimostrare la generalizzazione?

nel senso che uno di primo impatto si aspetta che la generalizzazione dia come risultato k, mentre in realtà non è cosi....comunque non voglio "bruciare" subito un problema alla portata di tutti quindi sto zitto. Però non voglio nemmeno che venga abbandonato,quindi se domani sera quando torno a casa nessun altro ha risposto posto la mia soluzione, ok?

va bene, visto che nessun altro ha risposto allora rispondo io:
Consideriamo la somma di 2 termini alla volta, ovvero di $ \displaystyle\frac k {k+k^{\frac m n}}+\frac k {k+k^{\frac{2n-m} n}} $ con m pari <n.
Svolgendo 2 calcoli è semplice verificare che questa somma è 1.
Quindi la somma totale sarà uguale al numero di coppie di termini di questo tipo. Poichè i termini totali sono $ \displaystyle\frac{2n-2} 2=n-1 $, il numero di coppie sarà $ \displaystyle\frac{n-1} 2 $, per cui la somma sarà uguale a $ \displaystyle\frac{n-1} 2 $. Ovviamente applicando ciò al punto 1 troviamo che la somma è 7, quindi abbiamo finito.

Maioc92 ha scritto:va bene, visto che nessun altro ha risposto allora rispondo io:
Consideriamo la somma di 2 termini alla volta, ovvero di $ \displaystyle\frac k {k+k^{\frac m n}}+\frac k {k+k^{\frac{2n-m} n}} $ con m pari <n.
Svolgendo 2 calcoli è semplice verificare che questa somma è 1.
Quindi la somma totale sarà uguale al numero di coppie di termini di questo tipo. Poichè i termini totali sono $ \displaystyle\frac{2n-2} 2=n-1 $, il numero di coppie sarà $ \displaystyle\frac{n-1} 2 $, per cui la somma sarà uguale a $ \displaystyle\frac{n-1} 2 $. Ovviamente applicando ciò al punto 1 troviamo che la somma è 7, quindi abbiamo finito.

good