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Siano $ \displaystyle a=13,34685793 $ e $ \displaystyle b=13,34685794 $; trovare x razionale e y irrazionale tali che risulti $ \displaystyle a<x<b $, $ \displaystyle a<y<b $.
($ \displaystyle x $ è banale, basta prendere il valore medio, giusto? Buon lavoro con la $ \displaystyle y $)

Bonus question: Dimostrare che $ \displaystyle \sqrt [3] {3} $ e $ \displaystyle \sqrt [13] {7^{77!}} $ sono numeri irrazionali.

EDIT: Dimostrare che $ \displaystyle \sqrt [3] {3} $ è irrazionale e che $ \displaystyle \sqrt [13] {7^{77!}} $ è invece razionale.

SARLANGA ha scritto:Bonus question: Dimostrare [...] la radice tredicesima di $ \displaystyle 7^{77!} $ sono numeri irrazionali.

julio14 ha scritto:

SARLANGA ha scritto:Bonus question: Dimostrare [...] la radice tredicesima di $ \displaystyle 7^{77!} $ sono numeri irrazionali.

grazie julio14, non me ne ero accorto. Ovviamente si deve dimostrare che la seconda, cioè $ \displaystyle \sqrt [13] {7^{77!}} $, è razionale.
A parte l'errore del testo, non lo snobbate tanto, voglio vedervi alla prova su queste cose facili, in modo che io possa apprendere più facilmente un passo alla volta (l'importante è che siate il più possibile chiari, formali ed esplicativi).
Grazie

fondamentalmente si usa la stessa idea alla base della dimostrazione che gli irrazionali sono densi nei reali. Basta prendere un irazionale qualsiasi (ad esempio $ \sqrt 2 $) e prendere $ n\in\mathbb N $ tale che $ \frac{\sqrt 2} n<b-a $(non dovrebbe essere troppo difficile con una calcolatrice ma si può benissimo fare anche a mano). A questo punto un simpatico fatto non troppo difficile da dimostrare dice che esiste $ m\in\mathbb N $ tale che $ a<m\frac{\sqrt 2} n<b $. Inoltre m è la parte intera di $ \frac {an} {\sqrt 2}+1 $, e quindi si trova abbastanza facilmente. Ovviamente puoi fare la stessa cosa con qualsiasi irrazionale, ho preso $ \sqrt 2 $ solo come esempio

EDIT: facile dipende dai punti di vista, perchè se uno non conosce queste cose il problema diventa difficilotto, o sbaglio??

Ho corretto una cosa, che avevo sbagliato a scrivere per distrazione. Scusa sarlanga

SARLANGA ha scritto:

julio14 ha scritto:

SARLANGA ha scritto:Bonus question: Dimostrare [...] la radice tredicesima di $ \displaystyle 7^{77!} $ sono numeri irrazionali.

grazie julio14, non me ne ero accorto. Ovviamente si deve dimostrare che la seconda, cioè radice tredicesima di $ \displaystyle 7^{77!} $, è razionale.

$ 13|77! $, quindi.....

Maioc92 ha scritto:EDIT: facile dipende dai punti di vista, perchè se uno non conosce queste cose il problema diventa difficilotto, o sbaglio??

Esatto, dopotutto uno non nasce con la scienza infusa! Mi piacerebbe solo che chi è più esperto fosse esaustivo nelle spiegazioni (e ringrazio tutti quelli che lo sono).

Maioc92 ha scritto:Inoltre m è la parte intera di $ \frac a {\sqrt 2}+1 $, e quindi si trova abbastanza facilmente.

Perchè $ \displaystyle m $ equivale alla parte intera di $ \frac a {\sqrt 2}+1 $
Accettato questo, si ottiene che $ \displaystyle \sqrt 2 $ moltiplicato per un numero razionale $ \displaystyle m/n $ sia compreso tra $ \displaystyle a $ e $ \displaystyle b $ (che non hai definito, ma immagino siano reali) e allo stesso tempo che lo stesso numero $ \displaystyle m \sqrt 2 /n $ è minore di $ \displaystyle m(b-a) $. Ok, ma questo a cosa porta? Qual è il fine del tuo ragionamento? Per caso è dimostrare che $ \displaystyle \sqrt 2 $ sta nei reali? Se è così, chi mi dice che non è razionale?
Grazie di nuovo per la pazienza

@Maioc92: Beh, dire difficilotto mi sembra esagerato... non serviva fare tutti quei giri, basta prendere $ $a+\pi^{-100} $

ok, rispondo a tutto:
1)a e b li hai definiti tu, sono nel testo dell'esercizio
2)per maggior chiarezza,senza stare a dimostrarlo, spiego intuitivamente da cosa si ricava il lemma che ho usato: immagina la retta reale, l'intervallo $ [a,b] $ e l'intervallo $ [0,\frac {\sqrt2} n] $. Ora, il secondo intervallo è più piccolo del primo per come abbiamo definito n. A questo punto consideriamo i multipli interi del secondo intervallo: non facciamo altro che sommarlo con se stesso più volte. Però abbiamo detto che il primo intervallo è più ampio, quindi almeno un multiplo del secondo deve "cascarci" dentro, perchè non può saltarlo.
3)Ho corretto il fatto della parte intera, scusa per l'errore precedente. Comunque detto m l'intero positivo per cui $ a<m\frac {\sqrt2} n<b $, si che $ \displaystyle m=[\frac{a}{\frac{\sqrt 2} n}]+1=[\frac{an}{\sqrt 2}]+1=[\frac{an}{\sqrt 2}+1] $ ([] è la parte intera). Questo deriva direttamente dalla dimostrazione del lemma, che posterò al più presto per intero se ti interessa, altrimenti credo che tu la possa trovare tranquillamente su internet.
4)$ \frac m n \sqrt2 $ è irrazionale perchè è multiplo razionale di un irrazionale.
@julio14:boh in effetti si......
vabbè almeno ho postato un fatto a mio parere interessante, che dopotutto val la pena di sapere. Non mi era venuto in mente il tuo modo (che è moooolto meglio)

perfetto, Maioc92, sei stato chiaro...credo di aver capito ora tutto quello che hai scritto. Mi rimane un'ultima domanda: abbiamo dimostrato che deve esistere un numero irrazionale nell'intervallo $ \displaystyle a $ e $ \displaystyle b $, ma qual è ora il procedimento per trovare quale esatto numero $ \displaystyle y $ sta in quell'intervallo?

EDIT: Ci sarebbe poi ancora un'altra questione che non mi è chiara, cioè la dimostrazione che $ \displaystyle \sqrt [3] {3} $ è irrazionale...

julio14 ha scritto:@Maioc92: Beh, dire difficilotto mi sembra esagerato... non serviva fare tutti quei giri, basta prendere $ $a+\pi^{-100} $

Caro julio14, siccome non ho afferrato al volo la tua idea, potresti illustrarla? Mi interesserebbe moltissimo vedere il tuo procedimento.

banalmente, dati $ ~a,b\in\mathbb{R}^+ $ e definita una media, essa e' compresa tra essi per definizione.
http://mathworld.wolfram.com/Mean.html

$ ~10^8b=10^8a+1\in\mathbb{N} $, ergo $ ~\sqrt{ab} $ e' irrazionale e compreso tra essi.

Cmq, e' molto banale trovare un irrazionale tra 2 numeri dati. Piu' complicato cercare una formula generale

ah...è vero. Ok, e per quanto riguarda la dimostrazione dell'irrazionalità di $ \displaystyle \sqrt [3] {3} $? Poi, il metodo di julio14 sull'uso di $ \displaystyle a+ \pi ^{-100} $?
Grazie

julio ha cercato un irrazionale $ ~<b-a $ e la somma di un razionale piu' un irrazionale e' un irrazionale

la dimostrazione di $ $\sqrt[3]3 $ penso sia affine a quella di $ ~\sqrt{2} $

In realtà non è così immediato che $ $ \pi^{-100} $ sia irrazionale. Lo è se si sa che $ $ \pi $ è trascendente, ma in ogni caso io avrei preferito $ $ \frac{\sqrt{2}}{10^{-n}} $, con n grande a piacere.

Il fatto di poter trovare irrazionali e razionali piccoli a piacere dovrebbe risolvere il problema posto da SkZ di trovare irrazionali compresi tra due numeri qualunque $ a < b $. In particolare sia $ $ k=\left\lfloor \log_2{(b-a)} \right\rfloor $ e sia $ $ h=\left\lfloor \frac{a}{2^{k-1}} \right\rfloor $, allora $ $ \left( h+1 \right) 2^{k-1} $ è un razionale compreso tra a e b, mentre $ $ \left( h+\sqrt{2} \right) 2^{k-1} $ è un irrazionale compreso tra gli stessi numeri.

EDIT: Formula poco chiara

Il_Russo ha scritto:In particolare sia $ $ k=\left\lfloor \log_2{b-a} \right\rfloor $ e sia $ $ h=\left\lfloor \frac{a}{2^{k-1}} \right\rfloor $, allora $ $ \left( h+1 \right) 2^{k-1} $ è un razionale compreso tra a e b, mentre $ $ \left( h+\sqrt{2} \right) 2^{k-1} $ è un irrazionale compreso tra gli stessi numeri.

Sarò davvero duro, ma come mai $ \displaystyle k $ e $ \displaystyle h $ devono essere proprio quelli?
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