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I polinomi reali p(x), q(x), r(x) hanno grado 2,3,3 rispettivamente e soddisfano p(x)^2 + q(x)^2 = r(x)^2. Mostra che o q(x) o r(x) ha tutte le sue radici reali.

Di questo problema ho trovato una soluzione che risponde alla richiesta, ma non e' esattamente quello che chiede il testo (ammesso che io l'abbia tradotto bene dall'inglese e che magari non abbia fatto qualche cappellata chi l'ha tradotto dal russo all'inglese). In un certo senso, ho provato un risultato un po' piu' forte. Ma sono perplesso.

Cioè dobbiamo provare che il polinomio q(x)r(x) ha esattamente (o almeno?) 4 radici?

Esiste y in R t.c. r(y)=0 allora p(y)=q(y)=0. Siano (a,b) reali con a²>0 e s(x),t(x) in R[x] t.x. s(x)(x-y)=q(x),t(x)(x-y)=r(x),(ax+b)(x-y)=p(x), allora (ax+b)²=(t(x)+s(x))(t(x)-s(x)). Supposto per assurdo che s²(x)t²(x)>0 per ogni x in R, abbiamo che s(x) e t(x) avranno segno costante, in particolare wlog s(x)+t(x)>0 per ogni x in R. Per cui s(x)-t(x) ha -b/a come doppia radice, i.e. s(x)-t(x)=g(x+b/a)² e s(x)+t(x)=a²/g, dove g in R fissato tale che g²>0. Quindi 2s(x)=g(x+b/a)²+a²/g e t(x)=g(x+b/a)²-a²/g. Se g>0 (l'altro caso è analogo) abbiamo s(x)>0 per ogni x in R, e per ipotesi anche t²(x)>0 per ogni x in R. Ma allora (x+b/a)² è sempre diverso da (a/g)², cioè |x+b/a| è sempre diverso da j|a/g| per ogni j in {-1,1}, che è chiaramente assurdo. Ciò mostra che l'equazione r(x)q(x)=0 ha almeno 4 radici reali. (sarà finito? )

Ok, ho mostrato anche la parte esattamente

Supponiamo che assurdo che n≤m≤l in R t.c. r(n)=r(m)=r(l)=0, allora p(n)=q(n)=p(m)=q(m)=p(l)=q(l)=0. Ciò significa che q(x)=ur(x) per qualche u in R t.c. u²>0. Allora p²(x)=r²(x)(1-u²), ma deg(r²(x)(1-u²)) in {0,6} e deg(p²(x))=4, che è assurdo. []

jordan ha scritto:Cioè dobbiamo provare che il polinomio q(x)r(x) ha esattamente (o almeno?) 4 radici?

e' proprio qua, in sostanza, che sta la mia perplessita'. Il testo richiede di provare che q(x) o r(x) ha esattamente tre radici reali. Io, se non ho fatto errori, ho provato che e' q(x) ad avere tre radici reali [mentre q(x) ha una sola radice reale].

Visto che ci siamo posto l'idea per esteso.

Si ha che : p^2 = (r-q)(r+q). Dato che p e' di secondo grado, allora o r-q e di 1° e r+q e' di 3° o viceversa (non possono evidentemente essere entrambi di 2°).

Supponiamo r-q = Ax+B quindi anche p ha la stessa ardice di r-q

percio' p = (Ax+B) (Cx+D) da cui segue che r+q = (Ax+B) (Cx+D)^2.

Pertanto -2q = (Ax+B)(1-(Cx+D)^2) =(Ax+B)(1-(Cx+D))(1+(Cx+D)) ha tre radici reali; mentre 2r =(Ax+B)(1+(Cx+D)^2) ha solo una radice reale.

Se e' r+q ad essere di 1° si giunge alla stessa colncusione.