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Per ogni $ n \in \mathbb{N}_0 $ esistono unici $ (k,a_0,a_1,\ldots,a_k) \in \mathbb{N}^{k+1} $ tali che $ a_k \neq 0 $, $ \displaystyle n=\sum_{i=0}^k{a_i10^i} $ e $ a_0,a_1,a_2,\ldots,a_k \in \{0,1,2,\ldots,9\} $.
Sia $ \text{sgn}(\cdot):\mathbb{Z} \to \{-1,0,1\} $ la funzione che associa a ogni intero negativo il valore -1, a ogni intero positivo 1, e 0 altrimenti.
Sia $ g(\cdot):\mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0 $ la funzione che associa a ogni intero positivo $ n $ il numero $ \displaystyle \prod_{0 \le i \le k}{(a_i+1-\text{sgn}(a_i))} $.

Trovare $ \max\{k \in \mathbb{N}: \exists n \in \mathbb{N}_0 \text{ tale che } g(n+j) \mid n+j \text{ per ogni } j \in \mathbb{N} \cap [0,k]\} $.

Bueno ci riprovo (avevo gia postato qui... ma totalmente toppato xD)
Vado a dimostrare che il massimo k è 12.
Un esempio con k= 12 è fissando n=0... ottengo che soddisfa le ipotesi.
Ora dimostro che è impossibile con più di k=12.
Prima di tutto noto che $ \displaystyle g(n) $ è uguale al prodotto delle cifre non nulle di n.
Perciò n+j non può essere coprimo con 2,3,5,7 a meno che non sia formato solo da 0,1.
Assumo $ k>12 $... ma allora esiste un $ n+j=a $ che finisce per 7, ma allora deve essere divisibile per 7, da cui si ottiene:
$ a=10z+7\Rightarrow 7|10z+7\Rightarrow a=70m+7 $
Ma esiste anche un $ n+j=a-4 $ oppure $ n+j=a+2 $... in entrambi i casi la cifra delle unità è divisibile per 3... da cui si ottiene:
$ 3|70m\Rightarrow 3|m\Rightarrow a=210v+7 $
Ora so anche che n+j assume il valore di $ 210v-1 $ oppure $ 210v+13 $
Ma questi sono ovviamente coprimi con 2,3,5,7 ed inoltre hanno cifre differenti da 0,1...... Assurdo.

Spero di non aver sparato cazzate xD

p.s. Jordan... se semplificassi un poco le notazioni nei tuoi post sarebbe molto più comodo... almeno per me xD

Tutto giusto, se non che n deve essere positivo