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Equazione con primi
Inviato: 14 ott 2009, 09:09
da geda
Provare che l'equazione $ p^4+q^4=r^4 $ non ha soluzioni nell'insieme dei numeri primi.
Inviato: 14 ott 2009, 15:45
da Veluca
I primi non possono essere tutti dispari per questioni di parità, ma devono essere o tutti pari o un pari e due dispari.
Il caso con tutti pari è banale: 2^4+2^4\neq2^4
Anche il caso con r pari è banale: p^4+q^4=2^4. Poichè il numero primo più piccolo è 2, allora si avrà WLOG p^4\ge q^4>2^4, assurdo.
Se invece p (WLOG) è pari, si avrà
16+q^4=r^4.
Poichè i numeri primi maggiori di 3 sono \equiv \pm1\pmod6 (infatti se fossero 2,3,4 sarebbero divisibili per 2,3,2 rispettivamente), allora quest'equazione è assurda mod 6 se nessuno tra q e r è uguale a 3.
Allora o q o r saranno uguali a 3. il primo caso porta a 97=r^4, il secondo a q^4=65, ma nè 97 nè 65 sono quarte potenze.
Inviato: 14 ott 2009, 18:06
da spugna
Soluzione alternativa (se sto diventando palloso ditemelo
):
L'equazione è equivalente a:
$ p^4=r^4-q^4=(r-q)(r+q)(r^2+q^2) $
Ma $ p $ è un numero primo,quindi tutti e tre i fattori del secondo membro devono essere potenze di $ p $. Poniamo quindi $ r-q=p^a $ ; $ r+q=p^b $ ; $ r^2+q^2=p^c $,con $ (a,b,c) \in \mathbb{N}^3 \wedge a+b+c=4 $. Notiamo ora che $ r-q<r+q<r^2+q^2 $ perchè,essendo $ r $ e $ q $ primi,sono entrambi maggiori di $ 1 $. Segue che $ a<b<c $. Quindi,se avessimo $ a=1 $ ,seguirebbe $ b \ge 2 $ e $ c \ge 3 $ ,da cui $ a+b+c \ge 6 $ (assurdo).
Dunque si deve avere $ a<1 \Rightarrow a=0 $. In questo modo troviamo $ r-q=p^a=p^0=1 $. Gli unici numeri primi consecutivi sono $ 2 $ e $ 3 $,ma $ 3^4-2^4 $ $ (=65) $ non è una quarta potenza (di un intero). Dunque l'equazione è impossibile
Re: Equazione con primi
Inviato: 14 ott 2009, 18:32
da jordan
geda ha scritto:Provare che l'equazione $ p^4+q^4=r^4 $ non ha soluzioni nell'insieme dei numeri primi.
Dato che $ \displaystyle \prod_{sym}{(p-q)^2}>0 $ e che $ 5 \mid p^4-1 \text{ per ogni } p \in \mathbb{P} \setminus\{5\} $ abbiamo che $ 10 \mid pq $, ma $ 5^4+2^4 $ non è una potenza quarta.
Inviato: 14 ott 2009, 18:46
da Jacobi
oppure ancora: L'equazione $ x^4 + y^4 = z^4 $ non ha soluzioni in N per l'ultimo teorema di fermat, quindi non avra soluzioni neanche in P.
PS: lo so che usare cannoni del genere e' strettamente non olimpico! pero e' figo
PS2: so anche che questa soluzione e' venuta in mente a tutti quelli che hanno guardato quest'esercizio
Inviato: 14 ott 2009, 19:22
da ndp15
Jacobi ha scritto:oppure ancora: L'equazione $ x^4 + y^4 = z^4 $ non ha soluzioni in N per l'ultimo teorema di fermat, quindi non avra soluzioni neanche in P.
Non vorrei dire eresie, ma se ben ricordo questo caso particolare si dimostra in maniera abbastanza olimpica con la discesa infinita. Giusto?
EDIT: ecco
qua
Inviato: 14 ott 2009, 19:33
da jordan
Può anche essere provato più in generale che l'equazione $ x^4+y^2=z^4 $ non ha soluzione negli interi positivi
Inviato: 15 ott 2009, 09:30
da geda
Io l'ho risolta come
spugna
Comunque interessanti gli altri approcci!