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Mostrare che esistono infiniti $ (a,b,c,d) \in \mathbb{N}_0^4 $ tali che $ \text{gcd}(a,b,c,d)=1,a^2+b^2+c^2=2d^2,a^4+b^4+c^4=2d^4 $

Sostituisco il valore di $ d^2 $ che si ricava dalla prima equazione nella seconda:
$ a^4 + b^4 + c^4 = 2 [(a^2 +b^2 +c^2)^2 /4] $
$ 2a^4 + 2b^4 +2c^4 = a^4 +b^4 +c^4 +2a^2 b^2 +2b^2 c^2 +2c^2 a^2 $
$ a^4 +b^4 +c^4 -2a^2 b^2 -2b^2 c^2 =2c^2 a^2 $
$ a^4 +b^4 +c^4 -2a^2 b^2 -2b^2 c^2 +2c^2 a^2 = 4c^2 a^2 $
$ (a^2 -b^2 +c^2)^2=(2ca)^2 $
Una possibile soluzione è data da:
$ a^2 -b^2 +c^2=-2ca $
$ (a+c)^2 =b^2 $
Una possibile soluzione è data da:
$ b=a+c $
Sostituisco nella prima equazione:
$ a^2 + a^2 +2ac +c^2 +c^2 =2d^2 $
$ a^2 + ac+ c^2= d^2 $
Ora pongo $ d=a+x $:
$ a^2 +ac +c^2 =a^2 +2ax +x^2 $
$ ac +c^2 = 2ax +x^2 $
$ a=(x^2 -c^2)/(c-2x) $
Se scelgo $ c=2x-1 $:
$ a=(x^2 -4x^2 +4x -1)/(-1) $
$ a=3x^2 -4x +1 >0 $ definitivamente
Così posso scegliere una x naturale a caso, purchè maggiore di un certo valore.
Da questa costruisco una terna:
$ c=2x-1 $
$ a=(x^2 -c^2)/(c-2x) $
$ b=a+c $
Questa terna soddisfa le due equazioni.
E' un po' lungo, ma credo sia corretto.

Bene.
Quoto anche la mia nel caso qualcuno volesse leggerla:

bboypa ha scritto:$ \displaystyle \left(\sum_{cyc}{a^2}\right)^2 = 2\left(\sum_{cyc}{a^4}\right) $ so $ \displaystyle \prod_{cyc}{(a + b - c)} = 0 $. So it is enough to set $ c: = a + b $ and show that the equation $ a^2 + ab + b^2 = d^2 $ iff $ \displaystyle \left(\frac {2a + b}{2d}\right)^2 + 3\left(\frac {b}{2d}\right)^2 = 1 $ has infinitely many coprime solution in $ \mathbb{Z}^3 $. But it is straghforward and well known that the elliptic curve $ X^2 + 3Y^2 = 1 $ has infinitely many points in $ \mathbb{Q}^2 $ (if more details are necessary look here for all class solutions).

jordan ha scritto:

bboypa ha scritto:...But it is straghforward and well known that the elliptic curve $ X^2 + 3Y^2 = 1 $ has infinitely many points in $ \mathbb{Q}^2 $...

Per evitare equivoci è meglio precisare che $ X^2+3Y^2=1 $ non è una curva ellittica, e che le ellissi non sono curve ellittiche.

Ehm.. si sorry