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Russia 2001
Inviato: 16 ott 2009, 14:37
da sprmnt21
x^3 + ax^2 + bx + c has three distinct real roots, but (x^2 + x + 2001)^3 + a(x^2 + x + 2001)^2 + b(x^2 + x + 2001) + c has no real roots. Show that 2001^3 + a 2001^2 + b 2001 + c > 1/64.
PS
carino e non difficile
Inviato: 17 ott 2009, 05:24
da jordan
p(x)=x³+ax²+bx+c,q(x):=x²+x+2001,e i<j<k tali che p(i)=p(j)=p(k)=0.Allora q(x)=i è impossibile per cui (2x+1)²=4(i-2001)+1<0, i.e. 2001-i>1/4.Quindi p(2001)>1/64.
Inviato: 28 ott 2009, 17:50
da sprmnt21
Giusto un modo diverso di scrivere le stesse cose.
Si ha che p(x) = (x-A)(x-B)(x-C) con A,B e C reali, mentre p(q(x)) =/= 0.
Ma p(q(x)) = (q(x)-A)(q(x)-B)(q(x)-C) =/= 0 significa che ogni fattore quadratico e' diverso da zero, cioe' che (2001-X) > 1/4 con X = A,B,C. Pertanto p(2001) > 1/64.