OliForum Matematico

Per qualche $ n>3 $ siano $ x_1,...,x_n $ reali positivi con prodotto 1. Mostrare che $ \displaystyle \sum_{cyc}{\frac{1}{1+x_1+x_1x_2}}>1 $.

Rispolvero questo post perché,andando a studiare altre cose,ne ho trovato
una soluzione alquanto semplice.(Ipotizzo che l'ultimo termi ne della sommatoria

sia $ \displaystyle\frac{1}{1+x_n+x_nx_1} $)

Consideriamo allora una serie di reali positivi
$ \displaystyle y_1,y_2,..y_n $ e poniamo $ \displaystyle x_1=\frac{y_3}{y_2},x_2=\frac{y_4}{y_3} \text{ ed altre cicliche} $
In tal modo è facile convincersi che il prodotto delle x_i risulta =1 come da traccia.
A questo punto abbiamo:

$ \displaystyle \sum _{cyc}\frac{1}{1+x_1+x_1x_2}=\sum_{cyc}\frac{1}{1+\frac{y_3}{y_2}+\frac{y_4}{y_2}}=\sum_{cyc}\frac{y_2}{y_2+y_3+y_4}> \sum_{cyc}\frac{y_2}{y_1+y_2+y_3+y_4+...+y_n} $$ =1 $