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Sia $ \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}_0} $ una sequenza di razionali non negativi tali che $ a_i+a_j=a_{ij} $ per ogni $ (i,j) \in \mathbb{N}_0^2 $. Mostrare che $ \displaystyle \prod_{1 \le i <j \le k}{(a_i-a_j)}=0 $ per qualche k>0.
Bonus:La condizione di razionalità è necessaria?

La tesi equivale all'esistenza di due termini uguali nella sequenza
Se c'è un $ \displaystyle~i $ tale che $ \displaystyle~a_i=0 $ allora $ \displaystyle~a_{i^2}=a_i+a_i=a_i $, da cui la tesi.
Altrimenti consideriamo due termini qualsiasi $ \displaystyle~a_i,a_j $ con $ \displaystyle~i\neq j $ e $ \displaystyle~(i,j)=1 $. Avremo $ \displaystyle~a_i=\frac{s}{t} $ e $ \displaystyle~a_j=\frac{u}{v} $ per qualche $ \displaystyle~s,t,u,v\in\mathbb{N}_0 $. Allora $ \displaystyle~a_{i^{tu}}=a_i+a_{i^{tu-1}}=\dots=tua_i=su $ e $ \displaystyle~a_{j^{sv}}=a_j+a_{j^{sv-1}}=\dots=sva_j=su $. Dunque $ \displaystyle~a_{i^{tu}}=a_{j^{sv}} $, che non sono lo stesso termine della sequenza dato che hanno gli indici diversi (per la coprimalità di $ \displaystyle~i $ e $ \displaystyle~j $ e per il fatto che non possono essere entrambi uguali a $ \displaystyle~1 $).

jordan ha scritto:Bonus:La condizione di razionalità è necessaria?

Sì, perché ponendo $ \displaystyle~a_n=\log_\pi n $ otteniamo una sequenza che rispetta l'ipotesi $ \displaystyle~a_i+a_j=a_{ij} $, ma non ci possono essere termini uguali, essendo $ \displaystyle~\log_\pi(\cdot) $ una funzione crescente..