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Trovare tutte le soluzioni dell'equazione $ 1000a+100b+10c+d=a^a+b^b+c^c+d^d $ con $ (a,b,c,d) \in \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \} ^4 $

Siete davvero deludenti.....

Non metto la dimostrazione perchè è tardi e sono stanco... do solo un paio di hint:

1) Valutare a.
2) Sostituire a e limitare di conseguenza gli altri
3) Trovare 3 cifre anche se non in ordine e valutare di conseguenza RHS
4) Concludere provando i 3 numeri che escono, ottenendo 3435 come unico risultato

Poi se in un paio di giorni nessuno posta la dimostrazione fo io :)

anche io ho fatto più o meno cosi, però come soluzione mi è parsa molto casosa e poco elegante...mi chiedevo se esiste una soluzione più diretta ed elegante che permetta di arrivare alla soluzione più velocemente. Qualcuno ha voglia di cercarla??

Si in effetti anche la mia è abbastanza brutta :|
Spugna se ne hai una più elegante postala ;)

Ok posto... anche se la dimostrazione non mi piace per niente.
Step 1) Tutte le variabili sono minori o uguali a 5. (se fosse presente un 6 o più otterrei RHS>9999 assurdo )
Step 2) È presente un solo 5 (se ce ne fossero 2 allora a sarebbe maggiore di 5 assurdo per lo step 1). Se non ce ne fosse nessuno, affinchè a rimanga diverso da 0, dovrebbe essere a=b=c=d=4 che però non è soluzione (verifica diretta).
Step 3) a=3 per lo step 2) è presente un solo 5, inoltre RHS rimane sempre minore di 4000 perchè anche se le variabili diverse da 5 sono 4 RHS=3125+256*4<4000. Inoltre RHS>3000 (è presente tra gli addendi 3025) perciò la cifra delle migliaia è 3==> a=3.
Step 4) Sostituisco a=3 ottenendo:
$ 2973+100b+10c+d=b^b+c^c+d^d $
Noto che LHS è compreso tra 2973+115 e 2973+544 da cui anche LHS lo è... ma so gia che è presente un 3125 che assumo (non proprio WLOG ma non saprei qual'è il termine esatto) essere b (tratto le variabili come se fosse un espressione simmetrica).. ottenendo:
$ 2973+115-3125\le c^c+d^d\le 2973+544-3125 \Rightarrow c^c+d^d\le 392 $
Step 5) Tramite l'ultima disequazione si deduce che tra b,c,d esiste al massimo un 4.
Step 6) Sostituisco nel RHS dell'espressione originale del testo assumendo c,d=1,2,3,4 (per i soliti motivi di prima) ottenendo:
$ 3^3+5^5+1+1\le RHS\le 3^3+5^5+4^4+3^3 $
Quindi si ottiene che:
$ 3154\le RHS\le 3435 $
Step 7) Ovviamente le limitazioni su RHS valgono anche su LHS perciò ottengo che:
$ 154\le 100b+10c+d\le 435 $

Da qua non riesco a concludere perchè sono un pirla e avevo sbagliato 5^5 xD

dario2994 ha scritto:è presente tra gli addendi 3025

$ 5^5=3125 $. Forse dovresti modificare qualche numero nella tua soluzione.....

Appena ho tempo di ripenso ;)
Comunque Spugna tu hai una dimostrazione decente?