OliForum Matematico

Problema 1.
Trovare tutti i possibili sottoinsiemi non vuoti $ S $ di $ \mathbb{N}:=\{0,1,2,\ldots\} $ tali che $ 0 \in S $ e esistono due funzioni $ h(\cdot):S \times S \to S $ e $ k(\cdot):S \to S $ che verificano:
i) $ k(x)=h(0,x) $ per ogni $ x \in S $
ii) $ k(0)=0 $
iii) $ h(k(x_1),x_2)=x_1 $ per ogni $ x_1,x_2 \in S $.
(Pierfrancesco Carlucci)

Sperando di non aver sbagliato qualcosa:
nella 3 pongo $ x_1=0 $ e trovo (poichè dalla 2 $ k(0)=0 $) $ h(0,x)=0 $ per ogni x. Quindi mettendo a confronto questa condizione con la 1, $ k(x)=0 $ per ogni x. Supponiamo ora per assurdo che S contenga un elemento n diverso da 0. Allora, sostituendo nella 3 $ h(k(n),n)=n $. Però abbiamo dimostrato che deve essere $ k(n)=0 $, per cui avremmo $ n=h(k(n),n)=h(0,n)=0 $, che è ovviamente assurdo. Quindi l'unica possibilità è $ S:=\{0\} $

@jordan: come al solito c'è un piccolo refuso nella soluzione che ho spedito, infatti mi sono confuso e invece di k(x) ho scritto f(x)....comunque si dovrebbe capire lo stesso (almeno lo spero)