OliForum Matematico

Problema 4.
Dati $ a,b,c $ reali positivi, mostrare che $ \displaystyle a+b+c \leq \frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}+\frac{ab}{a+b} +\frac{1}{2}\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right) $
(Darij Grinberg)

La disuguaglianza è omogenea quindi posso porre abc=1. Ora tralascio tutti gli inutili calcoli e passo direttamente alla parte saliente. Infatti alla fine ottengo di dover dimostrare che $ $\displaystyle\sum_{cyc}a^4b^3+\sum_{cyc}a^3b^4\ge\sum_{cyc}a^3b+\sum_{cyc}ab^3$ $. Riscrivo la precedente (ed in particolare riscrivo l'LHS) come:
$ \displaystyle\sum_{cyc}(\frac 2 3a^4b^3+\frac 1 3a^4c^3)+\sum_{cyc}(\frac 2 3a^3b^4+\frac 1 3b^4c^3)\ge \sum_{cyc}a^3b+\sum_{cyc}ab^3 $
Applico ora AM-GM alle 2 somme cicliche (ricordando che abc=1):
$ $\displaystyle\sum_{cyc}(\frac{a^4b^3+a^4b^3+a^4c^3}3)\ge\sum_{cyc}\sqrt[3]{a^{12}b^6c^3}=\sum_{cyc}\sqrt[3]{a^9b^3}=\sum_{cyc}a^3b$ $
$ $\displaystyle\sum_{cyc}(\frac{a^3b^4+a^3b^4+b^4c^3}3)\ge\sum_{cyc}\sqrt[3]{a^6b^{12}c^3}=\sum_{cyc}\sqrt[3]{a^3b^9}=\sum_{cyc}ab^3$ $
Sommo membro a membro le 2 disuguaglianze precedenti e ho la tesi

Io ricordando quanto ci hanno insegnato al senior, ho svolto tutti i calcoli arrivando a:
$ \displaystyle \sum_{sym}a^4b^3c^0\ge \sum_{sym}a^4b^2c $
Che è vera per bunching

dai però vi hanno rovinato con questo bunching...ora ogni disuguaglianza che salta fuori dite "è vera per bunching"
non che sia sbagliato però in effetti non è nello spirito delle olimpiadi la mera applicazione di una tecnica, e difficilmente in una gara vera può capitare che qualcosa sia banalmente vero per bunching. Per cui incito i giovani del forum a cercare altre strade (che ci sono sempre), invece di limitarsi ad applicare il bunching. Ok, fine della filippica

nessuno ha trovato una soluzione un po' più decente?

Maioc92 ha scritto:dai però vi hanno rovinato con questo bunching...

Cosa significa?

Dani92 ha scritto:

Maioc92 ha scritto:dai però vi hanno rovinato con questo bunching...

Cosa significa? :oops:

Vuole intendere (giustamente) che il bunching è tutto tranne che elegante xD
Generalmente quando si vuole risolvere col bunching tocca fare una maremma di calcoli e non bisogna applicarsi per avere delle idee.
Dice "vi hanno rovinato" perchè in una lezione dello stage senior ce l'hanno spiegato ;)

p.s. ormai spiego post d'altri... sono ridotto male xD

kn ha scritto:nessuno ha trovato una soluzione un po' più decente?

Si, Darij

dario2994 ha scritto:Io ricordando quanto ci hanno insegnato al senior, ho svolto tutti i calcoli arrivando a:
$ \displaystyle \sum_{sym}a^4b^3c^0\ge \sum_{sym}a^4b^2c $
Che è vera per bunching

come me..

Se jordan mi confermasse che non ho scritto cavolate nella dimostrazione (cosa molto probabile visto che non avevo neanche controllato), posterei volentieri la mia che utilizza riarrangiamento, Chebycheff e Nesbitt.

mod_2 ha scritto:Se jordan mi confermasse che non ho scritto cavolate nella dimostrazione (cosa molto probabile visto che non avevo neanche controllato), posterei volentieri la mia che utilizza riarrangiamento, Chebycheff e Nesbitt.

Sono anni che non provo piu' queste cose, ma, se non ho combinato pasticci con le espressioni, ho trasformato la dis. data in una del tipo:

(a+b+c)/3 >= (aA+bB+cC)/(A+B+C) con A < B < C se c < b < a.

mod_2 ha scritto:Se jordan mi confermasse che non ho scritto cavolate nella dimostrazione (cosa molto probabile visto che non avevo neanche controllato), posterei volentieri la mia che utilizza riarrangiamento, Chebycheff e Nesbitt.

Postala in ogni caso no? Ancora non ne controllo nessuna io..
Entro stasera comunque spero di postare tutte le soluzioni originali
Edit: lho controllata, anche se non hai giustificato perchè Chebyschevè applicabile (e qualche errore di copiatura) il resto dovrebbe andare

Ciao a tutti. Posto la mia soluzione, anche se non ho partecipato al contest, perchè neoiscritto.
$ $X=(bc)/(b+c) +(ca)/(c+a) +(ab)/(a+b) >= (b^2 +c^2)/(2(b+c)) +(c^2 +a^2)/(2(c+a)) +(a^2 +b^2)/(2(a+b))=1/2 [b+c- (2bc)/(b+c) +c+a- (2ca)/(c+a) +a+b- (2ab)/(a+b)$ $
$ $2X>=a+b+c$ $

Poi ho dimostrato che
$ $1/2 ((bc)/a +(ca)/b +(ab)/c) >=(a+b+c)/2$ $
ponendo $ $a<=b<=c$ $, che si può fare perchè la disequazione è simmetrica in a, b e c (si dice così?), e usando la disuguaglianza di riarrangiamento.

Giuseppe M. ha scritto:Ciao a tutti. Posto la mia soluzione, anche se non ho partecipato al contest, perchè neoiscritto.
$ $X=(bc)/(b+c) +(ca)/(c+a) +(ab)/(a+b) >= (b^2 +c^2)/(2(b+c)) +(c^2 +a^2)/(2(c+a)) +(a^2 +b^2)/(2(a+b)) $
.....
$ $2X>=a+b+c$ $

non ho capito questo passaggio, ma comunque credo sia sbagliato perchè hai dimostrato una cosa falsa. Prova a porre ad esempio a=9 e b=c=1/3

P.S:benvenuto!!!

dario2994 ha scritto:

Dani92 ha scritto:

Maioc92 ha scritto:dai però vi hanno rovinato con questo bunching...

Cosa significa?

Vuole intendere (giustamente) che il bunching è tutto tranne che elegante xD
Generalmente quando si vuole risolvere col bunching tocca fare una maremma di calcoli e non bisogna applicarsi per avere delle idee.
Dice "vi hanno rovinato" perchè in una lezione dello stage senior ce l'hanno spiegato

p.s. ormai spiego post d'altri... sono ridotto male xD

Grazie dario, però io chiedevo proprio in cosa consiste il bunching...