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Siano $ a,b,c $ interi positivi tali che $ a+b+c \mid a^2+b^2+c^2 $. Mostrare che esistono infiniti interi positivi $ n $ tali che $ a+b+c \mid a^n+b^n+c^n $.

Ecco che penso io:
Dato che $ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2=(a+b+c)*(a+b+c) $,allora è logico che:
$ a+b+c|(a+b+c)*(a+b+c) $
e che $ (a+b+c) $ dividerà sempre
$ (a+b+c)^N $
Perchè $ (a+b+c)^N $è:
$ (a+b+c)*(a+b+c)*...*(a+b+c)*(a+b+c) $ $ N $ volte.

Mi sa che ho sbagliato e che non si capisce un tubo di quello che ho scritto.

karlosson_sul_tetto ha scritto:Dato che $ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2 $=(a+b+c)*(a+b+c)[/tex][...]
[...]Perchè $ (a+b+c)^N $è: $ (a+b+c)*(a+b+c)*...*(a+b+c)*(a+b+c) $ $ N $ volte.

Ok ricontrolla il passaggio quotato.
E comunque, la tesi non è vera per ogni a,b,c,n, dato che $ 1+2+4 \mid 1^2+2^2+4^2 $, ma $ 1+2+4 \nmid 1^3+2^3+4^3 $

jordan ha scritto:

karlosson_sul_tetto ha scritto:Dato che $ a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2 $=(a+b+c)*(a+b+c)[/tex][...]
[...]Perchè $ (a+b+c)^N $è: $ (a+b+c)*(a+b+c)*...*(a+b+c)*(a+b+c) $ $ N $ volte.

Ok ricontrolla il passaggio quotato.
E comunque, la tesi non è vera per ogni a,b,c,n, dato che $ 1+2+4 \mid 1^2+2^2+4^2 $, ma $ 1+2+4 \nmid 1^3+2^3+4^3 $

Ecco,era che:
$ a^n+b^n+c^n\neq(a+b+c)^n $
Scusate il disturbo

Il codice Latex è \neq, comunque non preoccuparti, grazie a te ho inventato questo problema

È ovvio che $ \displaystyle~a+b+c\mid (a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2) $, da cui $ \displaystyle~a+b+c\mid 2(ab+bc+ca) $. Se $ \displaystyle~a+b+c $ è dispari allora questo implica $ \displaystyle~a+b+c\mid ab+bc+ca $. Costruiamo ora la successione $ \displaystyle~s_i=a^i+b^i+c^i,~\forall i\in \mathbb{N} $. Vale la relazione ricorsiva $ \displaystyle~s_{i+3}=(a+b+c)s_{i+2}-(ab+bc+ca)s_{i+1}+(abc)s_i $. Se $ \displaystyle~a+b+c\mid s_n $ per un certo $ \displaystyle~n $, allora divide anche $ \displaystyle~s_{n+3} $: infatti $ \displaystyle~a+b+c\mid (a+b+c)s_{n+2}+(abc)s_n $, ma vale anche $ \displaystyle~a+b+c\mid (ab+bc+ca)s_{n+1} $, dato che se $ \displaystyle~a+b+c $ è dispari $ \displaystyle~a+b+c\mid ab+bc+ca $, mentre se $ \displaystyle~a+b+c $ pari si vede facilmente che lo è anche $ \displaystyle~a^i+b^i+c^i,~\forall i $ e dunque $ \displaystyle~a+b+c\mid 2(ab+bc+ca)\mid s_{n+1}(ab+bc+ca) $. Siccome jordan ci dice che $ \displaystyle~a+b+c\mid a^2+b^2+c^2 $ allora $ \displaystyle~a+b+c\mid a^{3k+2}+b^{3k+2}+c^{3k+2},~\forall k\in \mathbb{N} $!

BONUS (da fare a mente ): Quante sono le terne $ \displaystyle~(a,b,c) $ che rispettano l'ipotesi?

kn ha scritto:BONUS (da fare a mente ): Quante sono le terne $ \displaystyle~(a,b,c) $ che rispettano l'ipotesi?

Buh, $ 2 \nmid 1+x+x^2 \mid 1+x^2+x^4 $ dato che (0,1,2) e (0,2,4) formano entrambi un sistema completo di residui mod 3. Comunque poi linko la mia soluzione, prima risolvi/ete anche l'altro