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Siano dati n polinomi non costanti a coefficienti razionali tali che l'insieme dei primi sia un sottoinsieme dell'unione delle loro immagini (da controimmagini intere).
Mostrare che almeno uno di essi è lineare.

Siano $ p_1(x), \cdots, p_n(x) $ i polinomi; definiamo per ogni $ 1\leq i\leq n $ l'insieme $ A_i=\{m\in\mathbb{N}|p_i(m)>0\} $ e la somma $ S_i=\sum_{j\in A_i}\frac{1}{p_i(j)} $. Si ha allora che $ S_i $ converge se e solo se $ p_i(x) $ ha grado maggiore di 1, mentre diverge se $ p_i(x) $ è lineare. Poiché $ \sum_{i=1}^{n}S_i $ diverge solo se almeno uno dei polinomi è lineare e deve divergere in quanto contiene la somma degli inversi dei primi, che diverge, necessariamente almeno uno dei polinomi deve essere lineare.

La somma degli inversi dei primi diverge. Si ha infatti che $ \sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i}=\prod_{p\in\mathbb{P}}\frac{p}{p-1}=+\infty $, dunque avremo anche $ \sum_{p\in\mathbb{P}} \ln (1+\frac{1}{p-1})=+\infty $. Ora per ogni naturale $ n $ si ha $ \ln (1+\frac{1}{n})< \frac{1}{n} $ perché $ (1+\frac{1}{n})^n<e $; dunque abbiamo che la somma $ \sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p-1} $ diverge, e a questo punto basta sostituire ad ogni frazione $ \frac{1}{p-1} $ la frazione $ \frac{1}{q} $, dove $ q $ è il numero primo immediatamente prima di $ p $ (ovviamente bisogna ammazzare il 2).

Per quanto riguarda la convergenza della somma degli inversi dei valori positivi di un polinomio da controimmagini intere, ci si riconduce facilmente ai polinomi del tipo p(x)=x^m con m naturale, e per questi la questione è abbastanza famosa.

LOL ecco da dove mi era venuta l'idea di quel mio problema
E chi se lo ricordava