OliForum Matematico

Premetto che potrebbe essere gia stato postato anni addietro... ho provato a cercarlo ma sono evidentemente negato perchè o mi escono 0 risultati o me ne escono 1400... perciò ho lasciato stare, in ogni caso se è stato postato mettete un link al vecchio...

Dato l'insieme $ \displaystyle (a_1,a_2,\dots, a_m)\in\mathbb{Q}_{+}^m $ tale che:
$ \displaystyle \sum_{i=1}^ma_i=1 $
Trovare il minimo e il massimo della funzione $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z} $ così definita:
$ \displaystyle f(n)=n-\sum_{i=1}^m\lfloor a_i\cdot n\rfloor $

Edit: ho modificato e aggiunto che devono essere positivi (quel + al pedice della Q vuol dire questo)

Il simbolo dentro la sommatoria cos'è? La parte intera?

EDIT:Questa è la soluzione ad un problema diverso,infatti io per distrazione ho considerato il prodotto degli a_i uguale a 1, e non la somma (ormai la tengo perchè cancellarla tutta non avrebbe senso)

Escludiamo il caso m=1 perchè la funzione diventa costantemente nulla. Idea base della soluzione: esiste almeno un a_i>1 oppure tutti gli a_i sono uguali a 1.
Troviamo il minimo della funzione:
Tralasciando il caso in cui tutti gli a_i sono uguali a 1 (è banale vedere che la funzione diverge a $ -\infty $), chiamo a_m il maggiore degli a_i (ovviamente a_m è maggiore di 1). Ho che
$ f(n)\le n-[a_mn]=[n(1-a_m)] $. Ma $ n(1-a_m) $ diverge a $ -\infty $ e quindi cosi succede anche alla sua parte intera, e si conclude col teorema dei carabinieri.

Troviamo ora il massimo:
Con una tecnica simile a quella di prima si dimostra che la funzione è (debolmente) decrescente, per cui il minimo si ha per n=1 ed è $ \displaystyle 1-\sum_{i=1}^m[a_i] $

Può andare o c'è qualche errore?

Ops... toppato un piccolo particolare scusa davvero:
Gli $ a_i $ sono positivi xD
Si quel simbolo nella sommatoria è la parte intera :)

p.s. cosa dice il teorema dei carabinieri?

dario2994 ha scritto:Ops... toppato un piccolo particolare scusa davvero:
Gli $ a_i $ sono positivi xD
Si quel simbolo nella sommatoria è la parte intera

ehm.... io li avevo considerati positivi nella mia soluzione (2 errori si compensano )
Comunque se la mia soluzione è giusta (e può benissimo essere sbagliata) a cosa serve l'ipotesi di razionalità??

EDIT: il teorema dei carabinieri non è nulla di trascendentale in realtà. Applicato in questo caso dice che date due successioni $ a_n,b_n $ tali che $ a_n\le b_n $ per ogni n (ovvero la successione a_n è minorante della successione b_n), se b_n diverge a $ -\infty $ allora succede la stessa cosa ad a_n (in pratica è la formalizzazione di una cosa intuitiva)

uhm... la tua dimostrazione parte gia col piede sbagliato xD
Dici

Idea base della soluzione: esiste almeno un $ a_i>1 $ oppure tutti gli $ a_i $ sono uguali a 1.

Ma guarda che la somma fa 1... non il prodotto.

dario2994 ha scritto:uhm... la tua dimostrazione parte gia col piede sbagliato xD
Dici

Idea base della soluzione: esiste almeno un $ a_i>1 $ oppure tutti gli $ a_i $ sono uguali a 1.

Ma guarda che la somma fa 1... non il prodotto.

Chissà cosa avevo per la testa...è meglio se per oggi mi ritiro

Inizio io con il minimo: siano $ a_i:=b_ic_i^{-1} $ per qualche $ (b_i,c_i) \in \mathbb{N}_0^2 $ tali che $ \text{gcd}(b_i,c_i)=1 $, per ogni $ i \in \mathbb{Z} \cap [1,m] $. Allora, dato che $ x \ge \lfloor x \rfloor $ con uguaglianza se e solo se $ x \in \mathbb{Z} $ allora $ f(n) \ge 0 $ con uguaglianza se e solo se $ \text{lcm}(c_1,c_2,\ldots,c_m) \mid n $.

Anche il massimo si risolve allo stesso modo. Dato che $ \lfloor nb_ic_i^{-1} \rfloor $ è costante per ogni $ n \in \mathbb{Z} \cap [kc_i,(k+1)c_i) $ per qualche $ k \in \mathbb{Z} $ è chiaro che se $ f(n) $ assume massimo allora $ n $ sarà della forma $ t\text{lcm}(c_1,\ldots,c_m)-1 $ per qualche $ t \in \mathbb{N} $. Ma $ \displaystyle f(t\text{lcm}(c_1,\ldots,c_m)-1)=t\text{lcm}(c_1,\ldots,c_m)-1-\sum{\left \lfloor b_i(t\text{lcm}(c_1,\ldots,c_m)-1)c_i^{-1} \right \rfloor} $ $ =\displaystyle t\text{lcm}(c_1,\ldots,c_m)-1+m-\sum{b_it\text{lcm}(c_1,\ldots,c_m)c_i^{-1} \right \rfloor} $ $ =\displaystyle m-1+t\text{lcm}(c_1,\ldots,c_m)\left(1-\sum{b_ic_i^{-1}}\right)=m-1 $. []

Per cui abbiamo mostrato anche che $ f(\cdot) $ assume minimo se e solo se $ \text{lcm}(c_1,\ldots,c_m) \mid n $ e assume massimo se e solo se $ \text{lcm}(c_1,\ldots,c_m) \mid n+1 $.

Tutto giusto tranne questo pezzo (che dice cose vere... ma non ho capito come le hai dimostrate xD ):

Dato che $ \displaystyle \lfloor nb_ic_i^{-1} \rfloor $ è costante per ogni $ \displaystyle n \in \mathbb{Z} \cap [kc_i,(k+1)c_i) $ per qualche $ \displaystyle k \in \mathbb{Z} $ è chiaro che se $ \displaystyle f(n) $ assume massimo allora $ \displaystyle n $ sarà della forma $ \displaystyle t\text{lcm}(c_1,\ldots,c_m)-1 $ per qualche $ \displaystyle t \in \mathbb{N} $

Non capisco prima di tutto cosa è costante... e al variare di cosa xD E poi c'è una parentesi quadra di mezzo xD
Poi l'implicazione per cui allora quello è il massimo non l'ho capita...

Buh di parentesi quadre in più non ne vedo, comunque.. se hai una frazione positiva della forma a/b non intera con gcd(a,b)=1 allora sei d'accordo che [ka/b] rimane costante per ogni b-1<k<2b ? Significa che se vogliamo massimizzare k-[ka/b] in un generico intervallo di interi k in [tb,tb-1], è sufficiente prendere k il più grande possibile visto che quella parte intera rimane costante. E se questo deve valere per più frazioni contemporaneamente il più piccolo b da scegliere è il minimo comune multiplo di tutte le frazioni. Spero sia più chiaro adesso..

Chiarissimo :)
Comunque la parentesi quadra di troppo c'è xD

La mia dimostrazione del minimo è identica, per il massimo invece no... ho dimostrato prima che:
$ f(n)<m\ \ \forall n\in\mathbb{N} $
E poi ho mostrato un esempio di massimo quando:
$ n=\prod b_i $
Con $ \displaystyle b_i $ i denominatori dei razionali.
L'idea è la stessa solo che io non avevo notato che in effetti il massimo deve essere per forza nella forma che hai mostrato :)

dario2994 ha scritto:Chiarissimo
Comunque la parentesi quadra di troppo c'è xD

O.o dove?

è costante per ogni $ \displaystyle n \in \mathbb{Z} \cap [kc_i,(k+1)c_i) $ per qualche

C'è una parentesi quadra dopo in segno di intersezione ;)

Indica che l'intervallo è chiuso a sinistra e aperto a destra, nessun errore