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Sia $ \{ a_i \} $ una sequenza di numeri reali definita nel modo seguente:

- $ a_1=1 $

- $ \forall i \in \mathbb{N}^+,a_{i+1}=\dfrac{3}{4}a_i+\dfrac{1}{a_i} $.

Dimostrare che:

1)La sequenza è limitata

2)$ |a_{1000}-2|<\left( \dfrac{3}{4} \right)^{1000} $


ANDIAMO,L'HO RISOLTO IN MEZZ'ORA!!!

scusa, non l'avevo visto
Comunque ecco la mia soluzione:
1)Intanto è sicuramente limitata inferiormente perchè la sequenza è positiva. Dimostro per induzione che è limitata superiormente, e in particolare che a_i<2 per ogni i:
$ a_{i+1}<2 $
$ \frac 3 4a_i+\frac 1 {a_i}<2 $
Svolgo i calcoli e trovo che la disuguaglianza è vera se a_i<2. Poichè $ a_1=1<2 $, ho finito.
2)Dimostro per induzione che per $ i\ge 2 $, $ a_i>2-(\frac 3 4)^i $.
Per i=2 è banalmente vero.
Passo induttivo:
Per ipotesi induttiva $ a_i>2-(\frac 3 4)^i $, ovvero $ \frac 3 4a_i>\frac 3 2-(\frac 3 4)^{i+1} $
Devo dimostrare che $ a_{i+1}=\frac 3 4a_i+\frac 1 {a_i}>2-(\frac 3 4)^{i+1} $.
Applico l'ipotesi induttiva e mi rimane da dimostrare che $ \frac 1 {a_i}>\frac 1 2 $, ma questo è vero se $ a_i<2 $, che è vero perchè dimostrato nel punto 1. Quindi ho finito