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Own. Siano $ \{x_1,x_2,\ldots,x_{1994}\} $ una permutazione di $ \{1,2,\ldots,1994\} $. Mostrare che esiste $ (i,j) \in \mathbb{Z}^2 $ tale che $ 1 \le i < j \le 1994 $ e $ 1994 \mid i^{x_i}-j^{x_j} $.

La tesi implica $ 2 \mid i^{x_i}-j^{x_j} $ e $ 997 \mid i^{x_i}-j^{x_j} $. Per la prima implicazione basta porre sia i che j pari o dispari, per la seconda ho:
$ i^{x_i}-j^{x_j} \equiv 0 \pmod {997} $
Poichè 997 è primo, per Fermat ho:
$ i^{x_i}-j^{x_j} \equiv a^{996}-1 \pmod {997} $
Quindi se pongo j=998, e $ x_i=996 $ ho:
$ i^{966}-1 \equiv 0 \pmod {997} $
La tesi si verifica quindi per i pari qualsiasi, $ x_i=996 $, j=998.

Mi sembra giusto però ho qualche dubbio sul fatto che ponendo i pari, si possa definire $ x_i=996 $

Non hai capito il testo, $ x_i $ non puoi fissarlo tu..

Corollario di Jordan: si che non li posto difficili i problemi, ma a tutto c'è un limite

Jordan... mi sa che non hai capito la sua dimostrazione (che peraltro è giusta giuseppe, devi solo fare attenzione ad una cosa...)
Praticamente lui sceglie quella j tale che $ x_j=1993 $ e poi sceglie i=1,998 in base alla parità della j...
Esempio $ x_{711}=1993 $ allora scelgo $ i=1 $ ottenendo:
$ 1^{x_1}-711^{1993}\equiv 0 \pmod{1994} $
Se invece j è pari si fissa i=998.
Spero di non aver sparato cazzate xD

dario2994 ha scritto:Jordan... mi sa che non hai capito la sua dimostrazione (che peraltro è giusta giuseppe, devi solo fare attenzione ad una cosa...)

L'ho capita, tranquillo. E anche tu fai lo stesso sbaglio: come prima cosa GiuseppeR ha scelto $ x_j=996 $ il che è relativamente più corretto rispetto a $ 1993 $, in secondo luogo Fermat non afferma che $ 997 \mid x^{996}-1 $ per ogni $ x \in \mathbb{Z} $, ma che $ 997 \mid x^{997}-x $, il che è ben diverso.

Uhm... facevo bene a sperare di non aver detto una marea di cazzate xD