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y^2+y=x^4+x^3+x^2+x
Inviato: 29 ott 2009, 19:15
da mod_2
Trovare tutte le coppie di interi $ $x,~y$ $ tali che $ $y^2+y=x^4+x^3+x^2+x$ $.
Buon lavoro!
Inviato: 29 ott 2009, 21:04
da Maioc92
Consideriamola come un'equazione di secondo grado in y. Poichè y è intero, il delta deve essere un quadrato perfetto, ovvero deve essere
$ 1+4(x^4+x^3+x^2+x)=k^2 $
Pongo ora $ m=2x^2+x $. Si dimostra facilmente (se non ho sbagliato i calcoli) che, se $ |x|\ge 2 $, allora $ m^2<1+4(x^4+x^3+x^2+x)<(m+1)^2 $. Ovviamente essendo compreso tra 2 quadrati consecutivi non può essere un quadrato, per cui abbiamo un assurdo. Ci rimangono i casi x=-1,0,1.
Il caso x=1 porta ad y non intera, invece i restanti due casi portano alle soluzioni
$ (0,-1)(-1,0)(0,0)(-1,-1) $, che sono anche le uniche (se non ho sbagliato qualcosa).
Inviato: 30 ott 2009, 00:18
da kn
Attento che $ \displaystyle~1+4(x^4+x^3+x^2+x)<(m+1)^2 $ fallisce anche per $ \displaystyle~x=2 $ e la matematica (come al solito) approfitta della tua distrazione per fregarti: anche $ \displaystyle~(2,5) $ e $ \displaystyle~(2,-6) $ sono soluzioni!
Re: y^2+y=x^4+x^3+x^2+x
Inviato: 30 ott 2009, 10:17
da sprmnt21
mod_2 ha scritto:Trovare tutte le coppie di interi $ $x,~y$ $ tali che $ $y^2+y=x^4+x^3+x^2+x$ $.
Buon lavoro!
L'equazione data si puo' riscrivere nel seguente modo:
x(x+1)(x^2+1) = y(y+1).
Essendo i fattori a destra e sinistra coprimi, si ha che l'eguaglianza e' possibile solo per tutte le combinazioni del tipo:
x(x+1) = +/- y e x^2+1 = +/-( y+1)
x(x+1) = +/- (y+1) e x^2+1 = +/-y
...
x = +/- y e (x+1)(x^2+1) = +/-(y+1).
Sono 12
sistemi semplici da risolvere che dovrebbero fornire tutte le soluzioni possibili.
Inviato: 30 ott 2009, 10:51
da jordan
Lascio a te trovare l'errore
Inviato: 30 ott 2009, 11:05
da sprmnt21
jordan ha scritto:Lascio a te trovare l'errore
L'errore sta in questa frase:"Sono 12 sistemi semplici da risolvere che dovrebbero fornire tutte le soluzioni possibili."
Che deve essere sostituita da:
Sono 12 sistemi semplici da risolvere che dovrebbero fornire alcune soluzioni possibili."
Per chiudere la prova lungo questa linea, bisognerebbe provare anche che non ci siano alcuni dei fattori al primo membro che siano composti e i cui componenti siano fattori una parte di y e un'altra di y+1 e cose di questo tipo, credo.
Inviato: 30 ott 2009, 11:11
da jordan
sprmnt21 ha scritto:..bisognerebbe provare anche che non ci siano alcuni dei fattori al primo membro che siano composti e i cui componenti siano fattori una parte di y e un'altra di y+1 e cose di questo tipo, credo.
Ecco.. il che rende la tua strada abbastanza impraticabile
Inviato: 30 ott 2009, 13:56
da Maioc92
kn ha scritto:Attento che $ \displaystyle~1+4(x^4+x^3+x^2+x)<(m+1)^2 $ fallisce anche per $ \displaystyle~x=2 $ e la matematica (come al solito) approfitta della tua distrazione per fregarti: anche $ \displaystyle~(2,5) $ e $ \displaystyle~(2,-6) $ sono soluzioni!
lo sapevo di aver sbagliato qualche calcolo....comunque a parte questo il resto della dimostrazione dovrebbe reggere lo stesso