OliForum Matematico

Forse è gia stato postato...

Sia $ \displaystyle I $ l’incentro di $ \displaystyle ABC $ e siano $ \displaystyle M, N $ i punti medi di $ \displaystyle AB, AC $; siano inoltre $ \displaystyle K, L $ le intersezioni di $ \displaystyle BI, CI $ con $ \displaystyle MN $ .
Dimostrare che:
$ \displaystyle AI + BI + CI > BC + KL $

Bisogna distinguere i casi K appartiene ad AM oppure no, faccio solo il primo l'altro è identico.
Osservo che $ LNC $ e $ KMB $ sono isosceli, dunque $ MB=MK=\frac{c}{2} $ e $ CN=NL=\frac{b}{2} $.
Dunque $ KN=MN-MK=\frac{a-c}{2} $ e poi $ KL=NL-KN=\frac{b-a+c}{2} $. Dunque $ KL+BC=\frac{a+b+c}{2} $.
Considerando i tre triangoli $ AIB,AIC,BIC $ e scrivendo le disuguaglianza triangolari, ottengo
$ AI+BI+CI>\frac{a+b+c}{2}=BC+KL $

Ciao!