Spero di aver compreso bene il testo. E inoltre spero di essere chiaro.
Prima dimostro che $ \forall k \in N $ esiste un $ s(k)\in N $ tale che $ ks(k) $ e` un numero che contiene tutte le cifre da $ 0 $ a $ 9 $
Fissato il numero $ k $ considero il numero $ l(k)=12345678900900...0000 $ con tanti zeri dopo l'ultimo $ 9 $ pari al numero delle cifre di $ k $. Ora $ l(k)\equiv r(k) \pmod{k} $, con $ 0\leq r(k)<k $. Quindi il numero $ l(k)-r(k) $ e` divisibile per $ k $ e inoltre conserva inalterate le prime $ 10 $ cifre a sinistra( Es. $ k=567 $, $ l=123456789009000 $, $ r=405 $ e $ l-r= 123456789008595 $).
Quindi, il numero $ s(k) $ che cercavamo e` esattamente $ s(k)=\frac{l(k)-r(k)}{k} $.
Tornando all'esercizio in oggetto, per trovare $ m $, fissato un $ n $, posso costruirlo giustapponendo in sequenza le cifre di $ s(1) $, $ s(2) $, ... , $ s(n) $, separate da un numero opportuno di zeri (magari maggiore del numero di cifre di $ n\cdot s(n) $),
$ m=\overline{s(1)000..000s(2)000..000s(3)000..000s(4)......s(n-1)000..000s(n)} $
Ora, ogni volta che moltiplico $ m $ per un numero $ a $, con $ 0<a\leq n $ otterro` sicuramente tutte le cifre da $ 0 $ a $ 9 $, almeno nel prodotto $ a\cdot s(a) $.
So che non e` un modo molto economico di risolvere il problema, ma dovrebbe funzionare.
