OliForum Matematico

Si trovino,se esistono,tutte le funzioni da R in R bigettive,tali che

f(f(x)-f(y))*f(z+f(z))=2*x+f(f(f(z)-f(y)))

Come al solito spero di non aver scritto cazzate (ormai scriverlo è un rito scaramantico)

Prima di tutto riscrivo in maniera leggibile:
$ f(f(x)-f(y))\cdot f(z+f(z))=2x+f^2(f(z)-f(y))) $
Ora pongo (posso farlo per la bigettività di f):
$ f(x)=f(y)=0 $ con $ x=k $
ottenendo:
$ f(0)\cdot f(z+f(z))=2k+f^3(z) $
Noto che f(0) deve essere strettamente diverso da 0 altrimenti otterrei che la funzione $ f^3(\cdot) $ è costante, assurdo dato che la composizione di funzioni bigettive crea una funzione bigettiva.
Essendo diverso da 0 pongo:
$ \displaystyle f(z+f(z))=\frac{2k+f^3(z)}{f(0)} $
dato che RHS è biettiva in funzione di z allora lo è anche LHS.
Tornando al testo pongo:
$ f(z+f(z))=0 $ con $ z=k $ (lo posso fare grazie alla biettività dimostrata della funzione)
$ f(y)=0 $ (biettiva per ipotesi)
$ x=\frac{1-f^3(k)}{2} $
ottenendo:
$ \displaystyle 0=1 $
Quindi non esistono funzioni che rispettano le ipotesi.

dario2994 ha scritto:[...]Ora pongo (posso farlo per la bigettività di f):
$ f(x)=f(y)=0 $ con $ x=k $
ottenendo:
$ f(0)\cdot f(z+f(z))=2k+f^3(z) $.[...]

Potresti spiegare meglio questo passaggio? Fatico a comprenderlo. Cioè, tu definisci $ k $ come quel reale tale che $ f(k)=0 $? Di certo è ben definito perché la funzione è bigettiva. Intendevi così?

dario2994 ha scritto:Come al solito spero di non aver scritto cazzate (ormai scriverlo è un rito scaramantico)

Ma tu non vai a scuola ?!
Comunque non ho letto la tua dimostrazione, ma se non ho sbagliato ne esiste una mooooooooolto più breve: poni
$ y=z=k $ tale che $ f(k)=0 $ e trovi subito un assurdo, perchè l'equazione diventa $ 0=2x+f(f(0)) $

@ Anisama: si intendevo quello :) Forse era il caso che lo esplicitassi
@ Maioc: Sto con l'influenza xD Comunque mi sa che hai toppato... con le sostituzioni che hai detto si ottiene:
$ f^2(x)\cdot f(k)=2x+f^2(0) $

dario2994 ha scritto:@ Anisama: si intendevo quello Forse era il caso che lo esplicitassi
@ Maioc: Sto con l'influenza xD Comunque mi sa che hai toppato... con le sostituzioni che hai detto si ottiene:
$ f^2(x)\cdot f(k)=2x+f^2(0) $

Bhe, se ho capito quello che intende, $ $f^2(0) = f(f(0))$ $ e a sinistra è zero dato che $ $f(k)=0$ $

Ah giusto sono un demente xD bella soluzione :)

dario2994 ha scritto:@ Maioc: Sto con l'influenza xD

ah ecco perchè!!!Pensavo fossi fuggito dalla scuola per andare sull'oliforum Comunque ho letto la tua soluzione e direi che va bene (fidandomi dei calcoli finali).
P.S:spero non sia febbre suina