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Dato un triangolo ABC, sia H il suo ortocentro. Provare che le bisettrici di <BHC e <BAC sono parallele.

PS
Il problema e' "originale", puo' avere quindi senso cercare di confutare la tesi.

Siano :
AD la bisettrice da A,H l'ortocentro di ABC e HT la la parallela ad AD( vedi fig.) .
Abbiamo:
$ \displaystyle HBC=NBC=\frac{\pi}{2}-\gamma $
$ \displaystyle HCB=LCB=\frac{\pi}{2}-\beta $
$ \displaystyle BHC=\pi -HCB-HBC=\pi-(\frac{\pi}{2}-\beta)-(\frac{\pi}{2}-\gamma)=\beta+\gamma $
$ \displaystyle ADC=ABD+DAB=\beta+\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi+\beta-\gamma}{2} $
$ \displaystyle HTC=ADC=\frac{\pi+\beta-\gamma}{2} $
$ \displaystyle BHT=HTC-HBT=HTC-NBC=\frac{\pi+\beta-\gamma}{2}-(\frac{\pi}{2}-\gamma)=\frac{\beta+\gamma}{2}=\frac{1}{2}BHC $
Pertanto HT,parallela ad AD,è anche bisettrice di BHC

karl ha scritto:

Siano :
AD la bisettrice da A,H l'ortocentro di ABC e HT la la parallela ad AD( vedi fig.) .
Abbiamo:
$ \displaystyle HBC=NBC=\frac{\pi}{2}-\gamma $
$ \displaystyle HCB=LCB=\frac{\pi}{2}-\beta $
$ \displaystyle BHC=\pi -HCB-HBC=\pi-(\frac{\pi}{2}-\beta)-(\frac{\pi}{2}-\gamma)=\beta+\gamma $
$ \displaystyle ADC=ABD+DAB=\beta+\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi+\beta-\gamma}{2} $
$ \displaystyle HTC=ADC=\frac{\pi+\beta-\gamma}{2} $
$ \displaystyle BHT=HTC-HBT=HTC-NBC=\frac{\pi+\beta-\gamma}{2}-(\frac{\pi}{2}-\gamma)=\frac{\beta+\gamma}{2}=\frac{1}{2}BHC $
Pertanto HT,parallela ad AD,è anche bisettrice di BHC

C'e' almeno un'altra soluzione.

questo risultato e' utile per una delle soluzioni del problema proposto a:

viewtopic.php?t=13753

sprmnt21 ha scritto:
C'e' almeno un'altra soluzione.

Solo un'altra soluzione ? Ma io dico almeno altre dieci.Tutte più belle,più eleganti
(soprattutto nel "tono" e nella "forma ") .Della mia, ovviamente!!!

karl ha scritto:

sprmnt21 ha scritto:
C'e' almeno un'altra soluzione.

Solo un'altra soluzione ? Ma io dico almeno altre dieci.Tutte più belle,più eleganti
(soprattutto nel "tono" e nella "forma ") .Della mia, ovviamente!!!

Scusa Karl, ma non capisco il senso del messaggio e, per evitare il pur piccolo rischio che anche il mio sia frainteso, provo a chiarire.
Dico che c'e' almeno un'altra soluzione per non far "seccare" il filone . Dico "almeno una" riferendomi a quella che ho trovato io, ma sapendo con certezza che ce ne sono altre. Sul piu' o meno bella, e' tutto una questione di gusti.