OliForum Matematico

Trovare tutti gli interi positivi $ k $ per i quali il numero $ 3^k+5^k $ e` una potenza di qualche intero con esponente maggiore di $ 1 $.

Premetto che sono malaticcio e potrei scrivere un mucchio di scemenze....allora $ 3^k+5^k=a^b $, a è pari. dato che 1<b per ipotesi si ha $ 3^k\equiv -5^k\equiv 3\pmod 4 $ quindi k è dispari..Quindi si ha $ $8\sum_{i=0}^{k-1}{3^i(-5^{k-1-i})=a^b$ $(1). Analizziamo l'ultima cifra di LHS: dato che k è dispari può esere o 8 o 2, quindi anche b è dispari(2).
Analizziamo $ $\sum_{i=0}^{k-1}{3^i(-5^{k-1-i})$ $: ha un numero dispari di fattori dispari quindi necessariamente è dispari, allora per la (1) e la (2) si ha che $ 8||a^b $, b è maggiore di uno, è dispari e minore di 4 (infatti 8 divide esattamente a^b)quindi è 3.

Il problema diventa $ 3^k+5^k=a^3 $.

Pongo 1<k, allora $ 9|a^3-5^k $.Poi so che i cubi modulo 9 sono congrui a 8 o a 1 o a 0. Posto che questo non è congruo a 0 dene essere congruo a 8 o 1. Guardando come si comporta 5^k modulo 9 si vede che, tenendo conto che k è dispari, le uniche soluzioni sono del tipo k=6h+3. Ma a questo punto risultano tutti e 3 cubi, il che è assurdo per fermat(altrimenti basterebbe fare così:
dopo qualche calcolo risulta $ 5^{3m}=(a-3^m)\sum_{i=0}^{2}{a^i3^{m(3-1-i)}}\implies a\equiv 3^m\pmod 5^x\implies\sum_{i=0}^{2}{a^i3^{m(3-1-i)}}\equiv $ $ \sum_{i=0}^{2}{a^ia^{3-1-i}}=3a^{3-1}\equiv 0 \pmod 5^x $ che è assurdo)

Rimane da controllare il caso k=1 che fa 8 che è soluzione...spero di non aver scritto eresie perchè sono malaticcio...XD

Reginald, mi pare che sia tutto ok

Apprezzo lo spirito di sacrificio. Per la matematica questo e altro... sempre!

Reginald ha scritto:dato che 1<b per ipotesi si ha $ 3^k\equiv -5^k\equiv 3\pmod 4 $ quindi k è dispari..Quindi si ha $ $8\sum_{i=0}^{k-1}{3^i(-5^{k-1-i})=a^b$ $(1).

tutta quella parte non la capisco

danielf ha scritto:tutta quella parte non la capisco

Allora..Dato che a^b è pari e b è maggiore di uno, necessariamente 4|a^b, e quindi 4|LHS, allora $ 3^k\equiv -5^k\pmod 4 $.
$ 5\equiv 1\pmod 4\implies 5^k\equiv 1\pmod 4\forall k\in \mathbb{N}\implies -5^k\equiv -1\equiv 3 \pmod 4 $, ma $ 3^k \equiv -5^k\equiv 3\pmod 4 $ per ipotesi. Ipotizziamo k pari, allora 3^k sarebbe congruo a 1 e non a 3, allora k è necessariamente dispari.
L'altro è un prodotto notevole scritto sotto forma di sommatoria..sarebbe $ 3^k+5^k=(3+5)(3^{k-1}-3^{k-2}5+3^{k-3}5^2-....+5^{k-1})\forall k=2n+1, n\in \mathbb{N}_0 $ che è proprio la sommatoria scritta sopra....

geda ha scritto:Apprezzo lo spirito di sacrificio. Per la matematica questo e altro... sempre!

Eh si di quello ce ne vuole tanto sempre...$ Lavoro^3 $ diceva qualcuno

Reginald ha scritto:Premetto che sono malaticcio e potrei scrivere un mucchio di scemenze....allora $ 3^k+5^k=a^b $, a è pari. dato che 1<b per ipotesi si ha $ 3^k\equiv -5^k\equiv 3\pmod 4 $ quindi k è dispari..Quindi si ha $ $8\sum_{i=0}^{k-1}{3^i(-5^{k-1-i})=a^b$ $(1). Analizziamo l'ultima cifra di LHS: dato che k è dispari può esere o 8 o 2, quindi anche b è dispari(2).
Analizziamo $ $\sum_{i=0}^{k-1}{3^i(-5^{k-1-i})$ $: ha un numero dispari di fattori dispari quindi necessariamente è dispari, allora per la (1) e la (2) si ha che $ 8||a^b $, b è maggiore di uno, è dispari e minore di 4 (infatti 8 divide esattamente a^b)quindi è 3.

Il problema diventa $ 3^k+5^k=a^3 $.

Pongo 1<k, allora $ 9|a^3-5^k $.Poi so che i cubi modulo 9 sono congrui a 8 o a 1 o a 0. Posto che questo non è congruo a 0 dene essere congruo a 8 o 1. Guardando come si comporta 5^k modulo 9 si vede che, tenendo conto che k è dispari, le uniche soluzioni sono del tipo k=6h+3. Ma a questo punto risultano tutti e 3 cubi, il che è assurdo per fermat(altrimenti basterebbe fare così:
dopo qualche calcolo risulta $ 5^{3m}=(a-3^m)\sum_{i=0}^{2}{a^i3^{m(3-1-i)}}\implies a\equiv 3^m\pmod 5^x\implies\sum_{i=0}^{2}{a^i3^{m(3-1-i)}}\equiv $ $ \sum_{i=0}^{2}{a^ia^{3-1-i}}=3a^{3-1}\equiv 0 \pmod 5^x $ che è assurdo)

Rimane da controllare il caso k=1 che fa 8 che è soluzione...spero di non aver scritto eresie perchè sono malaticcio...XD

ripensando a questo problema,ma perchè non basterebbe fare così:
$ a^b $ deve essere pari,quindi $ 3^{k}+5^{k}\equiv 0 $ mod 4
allora $ (-1^{k})+1^{k} \equiv 0 $ mod 4.
per k dispari,sempre verificata,per k pari no