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Riflessioni intercettate
Inviato: 04 nov 2009, 17:49
da sprmnt21
Siano alpha e beta due circonferenze che hanno in comune la corda PQ. Sia r una retta per Q ed s la simmetrica di questa ripetto a PQ. Provare che la somma delle corde di r e di s si equivalgono.
Fonte propria.
Inviato: 04 nov 2009, 20:33
da dario2994
Chiamo A,B i punti d'intersezioni trovati da r; C,D quelli trovati da s rispettivamente su alpha e beta.
Assumo WLOG APQ>CPQ (se fosse uguale allora si avrebbe la tesi dato che r=s)
Dimostro che i triangoli APB e CPD sono congruenti da cui deriva la tesi (le corde sono lati del triangolo).
Dimostro che gli angoli in P dei 2 triangoli sono congruenti:
$ APB=APC+CPB=AQC+CPB=DQB+CPB=DPB+CPB=CPD $
I passaggi di congruenza derivano da angoli alla circonferenza che incidono sullo stesso arco oppure angoli opposti al vertice.
Ora dimostro che AP=PC (e con ragionamenti analoghi anche BP=PD quindi dimostrato questo ho concluso per il primo criterio di congruenza tra triangoli).
Chiamo K l'intersezione tra alpha e la bisettrice di AQC.
KQ è perpendicolare a PQ perchè sono bisettrici di angoli supplementari. Quindi KP passa per il centro (angolo al centro=2*90=180).
Inoltre PK è bisettrice di APC per ragionamenti sugli angoli alla circonferenza:
$ APK=AQK=KQC=KPC $
Ma essendo sia bisettrice che diametro una simmetria di AP rispetto a PK lo manda in PC e questo dimostra la loro congruenza.
Spero di non aver sparato cazzate xD
Inviato: 04 nov 2009, 23:07
da kn
Soluzione alternativa: Come si può vedere dalla figura il triangolo rosso è simile a quello verde ed entrambi sono isosceli (si mostra con l'angol ciasing). Quindi gli angoli in $ \displaystyle~P $ formati dai lati del triangolo verde con quelli del triangolo rosso sono uguali. Si conclude con il 1° criterio di congruenza e si mostra che i pezzi di corde non in comune sono uguali.
Inviato: 05 nov 2009, 10:31
da sprmnt21
kn ha scritto:Soluzione alternativa: Come si può vedere dalla figura il triangolo rosso è simile a quello verde ed entrambi sono isosceli (si mostra con l'angol ciasing). Quindi gli angoli in $ \displaystyle~P $ formati dai lati del triangolo verde con quelli del triangolo rosso sono uguali. Si conclude con il 1° criterio di congruenza e si mostra che i pezzi di corde non in comune sono uguali.
C'e' almeno un'altra soluzione.
La soluzione di kn mi fa notare che ho scritto in modo errato la tesi: scrivendo "somma delle corde", ho considerato, in effetti, solo un caso particolare della configurazione.
Proevro' ad aggiustare l'enunciato.
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Questo semplice risultato si puo' utilizzare (unitamente ad un teorema di Steiner sulla simmediana) per dare un prova alternativa del lemma rl02092009 dimostrato qua
viewtopic.php?t=13358
Qualcuno ci vuole provare?