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Mostrare che esistono infiniti interi positivi n tali che $ \varphi(n)<\varphi(n+1)<\varphi(n+2) $.


Prima che come solito qualcuno lo chieda, $ \varphi(\cdot) $ è la funzione di Eulero..

Jordan, potresti confermare che la funzione del problema è la classica

$ $ \varphi(n) = \sum_{(n,k)=1 \atop k<n} 1 $

e che la tesi è vera?

Perchè a me sembra -forse sbaglio- che si possa dimostrare che valga $ ~ \varphi(2k) \leq \varphi(2k+1) $ definitivamente, in contraddizione con la tua richiesta...

Haile ha scritto: Perchè a me sembra -forse sbaglio- che si possa dimostrare che valga $ ~ \varphi(2k) < \varphi(2k+1) $ definitivamente, in contraddizione con la tua richiesta...

Non capisco, perchè sarebbe in contraddizione?

ndp15 ha scritto:

Haile ha scritto: Perchè a me sembra -forse sbaglio- che si possa dimostrare che valga $ ~ \varphi(2k) < \varphi(2k+1) $ definitivamente, in contraddizione con la tua richiesta...

Non capisco, perchè sarebbe in contraddizione?

Se $ ~ n $ è dispari allora non può essere $ ~ \varphi(n)<\varphi(n+1) $, se $ ~n+1 $ è dispari non potrà essere $ ~ \varphi(n+1) < \varphi(n+2) $. Sempre che non abbia preso un grosso abbaglio...

Ah ok.
Si comunque pare falsa, non so se con l'uguale cambi o meno.
Se puo' interessare: http://www.research.att.com/~njas/sequences/b000010.txt

1- Che la funzione $ \varphi(\cdot) $ sia la funzione di Eulero già l'avevo scritto sotto..
2- Che la tesi è vera è ovvio, è il testo del problema
3- Quello che dici tu $ \varphi(2n)\le \varphi(2n+1) $ seppur fosse vera definitivamente non è in contraddizione con quanto richiesto..
4- In ogni caso "$ \varphi(2n)\le \varphi(2n+1) $ definitivamente" è falso

Grazie delle risposte (la -2 si poteva evitare... pensavo fosse chiaro che era solo un modo gentile di chiedere se per caso erano stati fatti errori di trascrizione del testo -a volte succede...-)


Stavo pensando a dove ho sbagliato; posso chiederti come sarebbe possibile dimostrare l'esistenza di un $ ~ n $ tale che $ ~ \varphi(2n) > \varphi(2n+1) $? -se ne hai voglia-.

jordan ha scritto: 4- In ogni caso "$ \varphi(2n)\le \varphi(2n+1) $ definitivamente" è falso

Io direi che $ \varphi(2n) $ può contenere al massimo n coprimi perchè non è coprimo con tutti i pari, mentre $ \varphi(2n+1) $ ha almeno n coprimi perchè è coprimo con tutti gli n pari già citati ed eventualmente con altri numeri...
Sbaglio?

Dani92 ha scritto: Io direi che $ \varphi(2n) $ può contenere al massimo n coprimi perchè non è coprimo con tutti i pari, mentre $ \varphi(2n+1) $ ha almeno n coprimi perchè è coprimo con tutti gli n pari già citati ed eventualmente con altri numeri...
Sbaglio?

Si. 14 e 21 ad esempio non sono coprimi. Due interi a e b si dicono coprimi o primi tra loro se e solo se il loro massimo comun divisore è 1.

verissimo.... scusate la sparata!

Haile ha scritto:Stavo pensando a dove ho sbagliato; posso chiederti come sarebbe possibile dimostrare l'esistenza di un $ ~ n $ tale che $ ~ \varphi(2n) > \varphi(2n+1) $? -se ne hai voglia-.

$ n=157 $

giove ha scritto:

Haile ha scritto:Stavo pensando a dove ho sbagliato; posso chiederti come sarebbe possibile dimostrare l'esistenza di un $ ~ n $ tale che $ ~ \varphi(2n) > \varphi(2n+1) $? -se ne hai voglia-.

$ n=157 $

Sono convinto

@Haile, non volevo essere scortese prima.. Riguardo la tua domanda, non è del tutto ovvia: più in generale, ponendo n=15k con k intero positivo, esiste almeno un intero k tale che $ \varphi(30k)>\varphi(30k+1) $? Con qualche semplice osservazione puoi vedere che, se la soluzione esiste, allora essa è molto grande: con computer alla mano puoi anche concludere che, se esiste, ha almeno 1000 cifre.. Eppur anche in questo caso (non mi addentro nella dimostrazione perchè è quasi il cuore del problema) una soluzione esiste (anzi, infinite..).

Con ciò spero saremo d'accordo sulla correttezza del testo (e anche che il segno di $ \Delta(\varphi(n)):=\varphi(2n)-\varphi(2n+1) $ non è definitivamente costante.. )

Ok, grazie

CONGETTURA:
Al solito ordino i primi con $ p_1=2, p_2=3, p_3=5 ... $ e pongo $ n=\displaystyle\prod_{i=2}^k p_i $ con $ k>3 $.
Si ha $ \displaystyle \varphi (n)<\varphi (n+1)<\varphi (n+2) $.

IPOTESI DI DIMOSTRAZIONE:
Sfrutto il fatto che i primi che dividono $ n+1 $ sono, $ 2 $ escluso, maggiori di $ p_k $ e che $ n+2 $ è primo o scomponibile in primi maggiori di $ p_k $. Ricordo inoltre che $ \displaystyle{\varphi(n)=n\prod_{i=1}^{k} \left(1-\frac{1}{p_i}\right)} $ e (in qualche modo ) concludo.

Possibilità 1: Chi vuole provare se questa strada funziona? (Magari anche io ma non ora!)

Possibilità 2 (sicuramente più gettonata ): Chi vuole provare se questa strada non funziona?