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Sia p(n) il prodotto delle cifre non nulle di un intero positivo n. Calcolare $ \displaystyle \text{gpf}\left(\sum_{1 \le i \le 2009}{p(i)}\right) $

Allora chiamo $ $f(a,b)=\sum_{i=a}^bp(i) $
Inoltre (per comodità poi) noto che $ $\sum_{i=1}^9i=45 $ (quando comparirà un 45 in seguito è implicito che è ottenuto da quest'identità).
Noto che $ $f(1,999)=f(1001,1999) $ dato che in RHS ogni numero ha solo una cifra 1 in più che ovviamente non modifica il prodotto.
Inoltre $ $f(2001,2009)=2\cdot 45=90 $.
In particolare unendo i fatti analizzati ottengo (gli 1,2 identificano 1000,2000)
$ $f(1,2009)=2\cdot f(1,999)+1+2+90 $
Ora devo calcolare $ $f(1,999) $. Considero un numero identificato da 3 cifre anche se a sinistra c'è uno 0 (o 2 zeri).
Divido in 3 casi: due zeri, uno, nessuno zero presente.
La somma dei p(i) con i con 2 zeri è $ $3\cdot 45 $.
La somma dei p(i) con i con 1 zero è $ $3\cdot 45^2 $.
La somma dei p(i) con i senza zeri è $ $45^3 $
Quindi in tutto ora che ho $ $f(1,999) $ posso calcolare $ $f(1,2009) $ che è:
$ $f(1,2009)=2(3\cdot 45+3\cdot 45^2+45^3)+1+2+90=194763 $
facendolo fattorizzare a wolfram mi dice che è
$ $194762=3\cdot 64921 $
Quindi $ $\text{gpf}(f(1,2009))=64921 $

Ok e se ti chiedo $ \displaystyle \sum_{1 \le i \le 10^{2009}}{p(i)} $?

Sfrutterei questa proprietà:
$ f(1,10^{k+1}-1)=46\cdot f(1,10^k-1)+45 $
Che riscritta come ricorrenza è (assumendo per comodità p(0)=0):
$ $a_0=0 $
$ $a_{n+1}=46a_n+45 $
A meno di errori grossolani...
Quindi risolvendo si ottiene:
$ $a_n=46^n-1 $
In particolare si ottiene che $ $f(1,10^n)=46^n $
Che è davvero una bella formula :)

p.s. fantastica la soluzione... non me l'aspettavo così pulita xD

Good potevi anche ragionare così visto che lo 0 "non conta": prendi tutti e soli i numeri di n cifre e dove c'è lo 0 sostituisci 1. E' chiaro che la somma di tutti i prodotti adesso è dato da (1+1+2+3+...+9)^n..