Da una vecchia gara americana
Inviato: 13 nov 2009, 16:03
Qual è il più grande numero intero positivo che divide $ n^7+n^6-n^5-n^4\quad \forall \,n>1 $?
$ n^4(n^3+n^2-n-1) $ ovvero $ n^4(n^3+n^2-n-1) $ Otteniamo quindi:
$ n^4(n+1)^2(n-1) $ che chiamo k per comodità.
Per n pari $ V_2(k)=2 $ come minimo per $ V_2(n)=1 $ e per n dispari $ V_2(k)=4 $ come minimo nel caso $ V_2(n-1)=2 , V_2(n+1)=1 $. Ora per quanto riguarda il fattore 3 ce n'è almeno 1, quindi minimo 1. Per i primi maggiori di 3 possono anche non esserci.
La soluzione è quindi $ 2^4*3=48 $.
P. S. $ V_p(a) $ indica l'esponente con cui compare il primo p nella fattorizzazione di a.