sequenza e divisibilità
Inviato: 14 nov 2009, 04:37
Sia n>1 un intero fissato.
A) Mostrare che esistono $ a_1<a_2<\ldots<a_n $ interi positivi tali che $ a_j-a_i \mid a_i^2+a_j^2 $ per ogni $ 1 \le i < j \le n $.
B) Siano dati $ a_1<a_2<\ldots<a_n $ interi positivi tali che $ a_j-a_i \mid \text{lcm}(a_i,a_j) $ per ogni $ 1 \le i < j \le n $. Mostrare allora che $ ja_i \ge ia_j $.
C) Mostrare che una sequenza come quella al punto b) esiste.
A) Mostrare che esistono $ a_1<a_2<\ldots<a_n $ interi positivi tali che $ a_j-a_i \mid a_i^2+a_j^2 $ per ogni $ 1 \le i < j \le n $.
B) Siano dati $ a_1<a_2<\ldots<a_n $ interi positivi tali che $ a_j-a_i \mid \text{lcm}(a_i,a_j) $ per ogni $ 1 \le i < j \le n $. Mostrare allora che $ ja_i \ge ia_j $.
C) Mostrare che una sequenza come quella al punto b) esiste.