OliForum Matematico

Un generale ha diviso l’esercito in battaglioni comprendenti ciascuno un numero di tre cifre di soldati. Se si uniscono due battaglioni si ottiene un quadrato perfetto; se si uniscono tre battaglioni, invece, per ottenere un quadrato perfetto il generale deve unirsi ai suoi uomini. Quanti soldati ci sono in un battaglione?

un po' di precisazioni
- si può prendere ogni coppia\terna di battaglioni?
- il numero di soldati in un battaglione è lo stesso?

A Pelle direi che sono tutti uguali

Imposto il sistema:
$ $2a=x^2 $
$ $3a+1=y^2 $
$ $200<x^2<2000\Rightarrow 10\sqrt{2}<x<20\sqrt{5} $

Dal primo ricavo 2|x e 2|a quindi sostituisco x=2x' e a=2a' ottenendo:
$ a'=x'^2 $
$ 6a'+1=y^2 $
Sostituisco la prima nella seconda:
$ 6x'^2+1=y^2 $
Modulo 4 ottengo 2|x' quindi pongo x'=2x'' ottenendo:
$ 24x''^2+1=y^2 $
Con la condizione iniziale modificata che diviene:
$ $\frac{5\sqrt{2}}{2}<x''<5\sqrt{5} $
Ma poichè x'' è intero posso porre:
$ 3<x''<12 $
Ora non rimane che provare tutti i casi :| ottenendo che l'unico che soddisfa è x''=10 da cui si ricava x=40 e sostituendo a=800.

Comunque penso ci sia una soluzione migliore... perchè soprattutto il finale della mia è molto contoso (sempre che sia giusta xD).

exodd ha scritto:un po' di precisazioni
- si può prendere ogni coppia\terna di battaglioni?
- il numero di soldati in un battaglione è lo stesso?

Ho la vaga impressione che le risposte siano si.

Riformulo matematicamente:
$ X:Y=Z=A\cdot100+B\cdot10+C $
$ 2 \cdot Z=D^2 $
$ 3 \cdot Z+1=E^2 $
Trovare $ $Z $

Scusate la mancanza di chiarezza; sì, il numero di soldati in un battaglione è costante.
La soluzione di Dario 2994 è giusta, e non ne ho una meno contosa. Sarebbe bello se qualcuno ne trovasse una più elegante.

jordan ha scritto:A Pelle...

Sia $ x \in \mathbb{Z} \cap [10^2,10^3) $ il numero cercato. Dato che $ 2x $ è un quadrato allora $ x=2y^2 $ per qualche $ y \in \mathbb{Z} \cap [8,22] $. Ma anche $ 3x+1 $ è un quadrato per cui esiste $ z \in \mathbb{Z} $ tale che $ 3x+1=6y^2+1=z^2 $. Ma $ z^2-6y^2=1 $ è un'equazione di Pell di cui possiamo trovare tutte le soluzioni in $ \mathbb{Z} $. Dato che $ (z_0,y_0)=(5,2) $ è la più piccola soluzione, tutte le altre $ (z_n,y_n) \in \mathbb{Z}^2 $ soddisfano $ z_n+y_n\sqrt{6}=\pm(5+2\sqrt{6})^n $ per qualche $ n \in \mathbb{N}_0 $. E' evidente per due interi $ a>b>0 $ vale $ |y_a| > |y_b| $, per cui è sufficiente provare i più piccoli valori di $ n \in \mathbb{N}_0 $: abbiamo che $ z_2+y_2\sqrt{6}=\pm(49+20\sqrt{6}) $ e $ z_3+y_3\sqrt{6}=\pm(161+156\sqrt{6}) $ il che mostra che l'unica soluzione accettabile è $ y=20 \implies x=800 $. []

Jordan... puoi spiegare cosa sono le equazioni di Pell? Se ritieni sia il caso di aprire un thread in glossario basta che lo chiedi (o lo fai direttamente tu) e lo apro subito :)
Lo chiedo perchè mi sembrano un metodo molto forte (che risolve molti problemi intendo) e che spero sia elementare...

Bah oddio sul significato di "elementare" ci sarebbe molto da discutere, ma comunque non mi pare il caso neanche di aprire il thread, dato che al file che allego ci dovrebbe stare tutto il necessario

Uhm... premesso che quel PDF è fantastico xD Ho capito perfettamente come si risolvono le equazioni di Pell ma mi sono completamente perso quando generalizza alle equazioni come:
$ N(z)=a $
Puoi darmi una mini-spiegazione su come si fanno queste... grazie.
Consiglio a tutti di leggersi quel documento perchè è più che chiaro e le dimostrazioni sono abbastanza elementari :)

jordan ha scritto:

jordan ha scritto:A Pelle...

Sia $ x \in \mathbb{Z} \cap [10^2,10^3) $ il numero cercato. Dato che $ 2x $ è un quadrato allora $ x=2y^2 $ per qualche $ y \in \mathbb{Z} \cap [8,22] $. Ma anche $ 3x+1 $ è un quadrato per cui esiste $ z \in \mathbb{Z} $ tale che $ 3x+1=6y^2+1=z^2 $. Ma $ z^2-6y^2=1 $ è un'equazione di Pell di cui possiamo trovare tutte le soluzioni in $ \mathbb{Z} $. Dato che $ (z_0,y_0)=(5,2) $ è la più piccola soluzione, tutte le altre $ (z_n,y_n) \in \mathbb{Z}^2 $ soddisfano $ z_n+y_n\sqrt{6}=\pm(5+2\sqrt{6})^n $ per qualche $ n \in \mathbb{N}_0 $. E' evidente per due interi $ a>b>0 $ vale $ |y_a| > |y_b| $, per cui è sufficiente provare i più piccoli valori di $ n \in \mathbb{N}_0 $: abbiamo che $ z_2+y_2\sqrt{6}=\pm(49+20\sqrt{6}) $ e $ z_3+y_3\sqrt{6}=\pm(161+156\sqrt{6}) $ il che mostra che l'unica soluzione accettabile è $ y=20 \implies x=800 $. []

Azz

Per una volta che ero riuscito a cogliere un suggerimento nascosto di Jordan, lui posta la soluzione nemmeno 10 ore dopo

Uhm ok... rileggendo il pdf sono riuscito a capire anche come si risolvono le equazione del tipo N(z)=a ma mi resta un dubbio... quelle descritte sono le uniche soluzioni? Nel senso... per le equazioni ordinarie c'è la dimostrazione che quelle descritte sono le uniche... ma per quelle Pell-type?

dario2994 ha scritto:Uhm... premesso che quel PDF è fantastico xD

Eheh

dario2994 ha scritto:..Per esempio una cosa come
$ $N(z)=\pm 4 $ con $ $z\in\mathbb{Z}[\sqrt{5}] $
come si risolve usando le equazioni di Pell? (IMO 1981 es 3)

Good, non ci avevo mai pensato a quella riformulazione di imo81/3..
Comunque si, se trovi la minima, le trovi tutte
@Haile, la prossima volta lo lascio a te

Bueno grazie... praticamente con ste equazioni di Pell si riconduce un IMO 3 direi tostissimo (soprattutto per l'anno) ad un banale problema contoso... figo xD
Se non vado errato sfruttando le equazioni di Pell si trovano tutte le soluzioni intere (x,y) di qualunque equazione nella forma:
$ $x^2+axy+by^2+c=0 $
Che dovrebbe essere equivalente a risolvere:
$ $N(z)=-4c $ con $ $z\in\mathbb{Z}[\sqrt{a^2-4b}] $

Se ti riferisci a questa soluzione posso dirti che il 90% è tutto fumo, l'idea di base è molto più semplice dal dedurre ex-novo tutte le soluzioni a una equazione generale di Pell (riguardo la domanda che mi hai fatto in quel thread, quando ho postato credo che mi ha mangiato un pezzo del messaggio, comunque puoi controllare direttamente su SciMat); oltretutto ho appena guardato la soluzione ufficiale sull'imo compendium, e direi che cambieresti idea vedendola

Riguardo la tua ultima domanda: se $ a^2-4b $ non è un quadrato usi questo, altrimenti lo sapevi già fare giorni fa (Esatto, abbiamo editato insieme XD)