OliForum Matematico

1)sia p un primo e $ n\subset N $ .prova,dall'induzione su n,che $ p| (n^{p} -n ) $
2)estendi questi risultato a tutti gli n appartenenti a Z
3)prova che $ 42 |n^{7}-n $ con n appartenente a Z
4)prova che $ 30| n^{5}-n $ con n appartenente a Z

1 e 2)Questo è il piccolo teorema di Fermat ed esiste una dimostrazione più semplice di quella per induzione (vedi video dello stage senior)
3 e 4)Seguono dall'applicazione del piccolo teorema di Fermat

Maioc92 ha scritto: 2 e 3)Seguono dall'applicazione del piccolo teorema di Fermat

potresti farmi vedere come ,per favore

ecco nel dettaglio:
3)$ 7|n^7-n $ per Fermat.
$ 2|n^7-n $ per ovvi motivi.
Ora scomponiamo $ n^7-n $ come $ (n^3-n)(n^4+n^2+1) $.
Sempre per Fermat, $ 3|n^3-n $.
Quindi 2,3,7 dividono $ n^7-n $, ovvero $ 42|n^7-n $

4)Come prima, è scontato che $ 2|n^5-n $.
Per Fermat, $ 5|n^5-n $.
Scomponiamo come $ (n^3-n)(n^2+1) $. Sempre per Fermat (ormai è la quarta volta che lo ripeto ) $ 3|n^3-n $.
Quindi $ 30|n^5-n $

grazie!