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Trovare tutte le terne di numeri primi $ (p,q,r) $ thali che,

$ \frac{p}{q}-\frac{4}{r+1}=1 $.

Prima di tutto noto $ $p\not= q $ perchè altrimenti si avrebbe $ $\frac{4}{r+1}=0 $
Svolgo i calcoli:
$ pr+p-qr-5q=0 $
Ora raccolgo così:
$ (r+1)(p-q)-4q=0 $
Divido per (p-q) ottenendo:
$ r+1=\frac{4q}{p-q} $
LHS è un intero positivo quindi anche RHS, inoltre RHS deve dividere 4q perciò le uniche possibilità sono (dato che q è primo):
$ r+1=1,2,4,q,2q,4q $
Le prime 3 le escludo subito perchè in quei casi si avrebbe $ r=kq $ con k diverso da 1, che è un assurdo dato che r è primo.
Analizzo gli altri casi:
$ $r+1=q\Rightarrow r=3, q=2 $... sostituendo nell'espressione del testo si ottiene p=4 che non è soluzione (per la primalità).
$ $r+1=4q\Rightarrow p-q=1 \Rightarrow p=3,q= $2 e sostituendo nel testo ottengo r=7 che da la soluzione $ $(p,q,r)=(3,2,7) $
$ $r+1=2q\Rightarrow p=q+2 $ Provo prima di tutto i casi q=2,3 ottenendo dal primo p=4 (quindi nulla) e dal secondo la soluzione valida $ $(p,q,r)=(5,3,5) $. Noto che r>q e p>q. Quindi per lemma noto (essendo primi) p,q,r sono congrui a $ \pm 1\pmod{6} $. Dalla prima espressione si deduce che q è congrua a 1, mentre dalla seconda che è congrua a -1 che da chiaramente un assurdo, quindi non ci sono soluzione per q>3.

dario2994 ha scritto:$ $r+1=q\Rightarrow r=3, q=2 $... sostituendo nell'espressione del testo si ottiene p=4 che non è soluzione (per la primalità).

Mi sembra tutto ok tranne questo piccolo particolare:infatti è r=2 e q=3, che porta a p=7. Quindi c'è anche la soluzione (7,3,2)

ops xD