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Sia ABC un triangolo acutangolo nel vertice A e si descriva la circonferenza
c di diametro BC .Essa intersechi AB ed AC in M ed N rispettivamente.
Dimostrare che sono collineari i punti P,Q ed H dove P e Q sono i
punti di contatto delle tangenti alla circonferenza c condotte da A ed H è l'ortocentro di ABC.
Il problema ha una velocissima risoluzione proiettiva.E' sufficiente
richiamare il teorema del quadrangolo completo inscritto in una conica
( nel nostro caso si tratta del quadrangolo BCNM inscritto nella crf. c)
ma sono certo che troverete una soluzione ...più elementare.

Ho trovato una soluzione più elementare!
Prima di tutto è chiaro che M e N sono piedi di altezza. Sia L il piede di altezza da A, e D il punto medio di BC.

Lemma 1: I punti: A,P,L,Q sono su una stessa circonferenza.
Dimostrazione: Siccome AP è tangente a c allora <APD=90=<ALD per cui APLD è ciclico, analogamente ALDQ è ciclico, e si segue che APLDQ è ciclico, per cui APLQ è ciclico.

Sia x la circonferenza circoscritta al quadrilatero ALMC (il quale è ciclico), e sia y la circonferenza circoscritta al pentagono APLQ. Vediamo che l’asse radicale della copia di circonferenze (c,y) è QP, l’asse radicale di (x,y) è AL (una altezza), e l’asse di radicale di (c,x) è CM (un’altra altezza), siccome QP, AL, CM sono le assi radicali di tre circonferenze per copie allora essi sono concorrenti, e siccome AL e CM s’intersecano in H allora QP passa per H, e con questo abbiamo finito.

Lemma: Presa una crf $ \Gamma $ di centro O e un punto P interno, sia r la sua polare sispetto a $ \Gamma $, sia P' un puinto su r e sia r' la polare di P' rispetto a $ \Gamma $. Allora r' passa per P.

Dim: un'inversione rispetto alla crf $ \Gamma $ manda la crf di diamento PO in r e quindi P' in un punto di essa e quindi r' passa per P.

Fatto più generale: Sia ABCD un quadrilatero inscritto in una crf $ \Gamma $ e siano E, F, G le intersezioni di AB con CD, BC, con DA, AC con BD.
Come noto (Lemma della polare) EF è la polare di G rispetto a $ \Gamma $, quindi per il Lemma, la polare di ogni punto della polare passa per G.