OliForum Matematico

Mostrare che se $ (a,b,c) \in \mathbb{N}_0^3 $ è tale che $ \displaystyle \frac{b^n}{a},\frac{c^n}{b}, \frac{a^n}{c} $ sono tutti interi allora $ \displaystyle \frac{(a+b+c)^{n^2+n+1}}{abc} $ è intero.
(3th QEDMO)

Allora... pongo (fattorizzazione):
$ $a=\prod p_i^{a_i} $
$ $b=\prod p_i^{b_i} $
$ $c=\prod p_i^{c_i} $
Ora riscrivendo le ipotesi ottengo (per ogni i si intende):
$ $a_i\le nb_i $
$ $b_i\le nc_i $
$ $c_i\le na_i $
e la tesi è (sempre per ogni i):
$ ${min(a_i,b_i,c_i)\cdot(n^2+n+1)\ge a_i+b_i+c_i} $
Ora rendo più forte la tesi togliendo il minimo e fissando WLOG $ $a_i $
$ $a_i(n^2)+a_i(n)+a_i\ge a_i+b_i+c_i $
Che deriva direttamente dalle ipotesi.

Come si risolve un esercizio del genere... bon io prima di tutto ho tentato di azzannarlo assumendo (a,b,c) coprimi ma mentre sviluppavo quella strada ho pensato che forse più che assumere la coprimalità dovevo ragionare sulla fattorizzazione, alchè ho abbandonato la coprimalità e ho fattorizzato... fatto quello è quasi concluso... basta sapere le regole di base delle potenze e si finisce elegantemente.
Uhm... direi che ha in sè una sola idea, che però è tra le più usate e forti della nella matematica olimpica, fattorizzare... fattorizzate sempre, se non riuscite in altri modi pensateci, provate a vedere se ha un senso, in generale bisogna ragionare sugli esponenti (come in questo caso) sfruttando le regole che si imparano anche a scuola.

Ben detto! Aggiungo che in questo caso basta anche vedere che $ \displaystyle~a\mid b^n\mid c^{n^2} $ e cicliche, da cui (sfruttando $ \displaystyle~b\mid c^n $) $ \displaystyle~abc\mid c^{n^2+n+1} $ e cicliche.
Inoltre $ \displaystyle~abc\mid a^{i+1}b^{j+1} $, per ogni $ \displaystyle~i,j\in\mathbb{N}_0 $ tali che $ \displaystyle~(i+1)+(j+1)=n^2+n+1 $, infatti questo si riduce a $ \displaystyle~c\mid a^ib^j $, con $ \displaystyle~i+j=n^2+n-1 $: se ora $ \displaystyle~i\ge n $ la divisibilità segue dall'ipotesi, altrimenti $ \displaystyle~i\le n-1 $, da cui $ \displaystyle~j\ge n^2 $, e di nuovo segue da $ \displaystyle~c\mid b^{n^2} $. A questo punto la tesi è ovvia sviluppando il numeratore della frazione che diventa un polinomio omogeneo di grado $ \displaystyle~n^2+n+1 $: i termini con tutte e tre le variabili sono divisibili per $ \displaystyle~abc $, mentre per gli altri v. sopra..

dario2994 ha scritto:...e la tesi è (sempre per ogni i):
$ ${min(a_i,b_i,c_i)\cdot(n^2+n+1)\ge a_i+b_i+c_i} $[...]

Questa non è equivalente alla tesi ma è già più forte

@Kn: very good