OliForum Matematico

Ciao a tutti! Vorrei chiedere un chiarimento su un problema del primo capitolo del Larson (ke mi dicono sia una lezione di vita ).
Sia S_1 la sequenza degli interi positivi: 1, 2, 3, 4, 5, ...
Si denoti con S_(n+1) la sequenza ottenuta da S_n aggiungendo 1 ai termini di quest'ultima che sono divisibili per n.
Per esempio, S_2 = 2, 3, 4, 5, 6, ... e S_3 = 3, 3, 5, 5, 6, ...
Trovare gli n tali che S_n cominci con n-1 numeri uguali a n.

Sono riuscito a dimostrare abbastanza facilmente che tutte le successioni S_p con p primo, soddisfano alla condizione, ma nn mi sovviene il modo in cui posso dimostrare che sono anche LE UNICHE (se lo sono).
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Ciao!!

Dimostra che per $ ~n $ composto non viene: chiami $ ~a_{i,j} $ l'$ ~i- $esimo termine nella successione $ ~S_j $ e analizza come si comporta il termine $ ~a_{n-1,j} $ al variare di $ ~j $
Se poi vuoi altri suggerimenti basta chiedere..

Ok dovrei averlo dimostrato :) (oggi sono proprio produttivo xD)
Prima di tutto riscrivo ipotesi e tesi in termini di successione:
$ $a_1<p $
$ $a_{n+1}:=n|a_n\rightarrow a_n+1 $ altrimenti $ $a_n $
$ $a_p=p\ \ \forall a_1<p $
Dimostrare che p è primo.
Bon... dimostro prima che con p primo funge...
Allora noto che $ a_n\ge n \forall n $ (per induzione viene facilmente). Inoltre se a_n assume il valore di un primo p non ci si schioda ovviamente fino ad $ a_p $. Con questi due fatterelli è quasi ovvio capire che:
$ p\le a_p\le p \Rightarrow a_p=p $
Per un valore n diverso da un primo basta notare che se $ $a_1=n-1 $ allora $ $a_n>n $ dato che $ $a_2=n $ e n non essendo primo ha un divisore minore di se stesso quindi aumentererà di valore prima di arrivare ad a_n.

Spero di essere stato un minimo chiaro xD

EDIT: anticipato...

sì dario, la dimostrazione che con p primo va bene è uguale alla mia.
Il resto non mi convince: è vero che aumenterà di valore, ma nn è detto che raggiungerà proprio il primo successivo ad esso. Insomma, quando la successione arriva ad un certo valore S_n con n NON primo, il fatidico a_n potrebbe essere arrivato giusto giusto a n+1, magari anch'esso non primo, così che la successione S_(n+1) si "allineerebbe" con a_n, e soddisferebbe la richiesta (è infatti palese che tutti gli a_i prima di a_n sono uguali ad n+1, in S_(n+1)).
Spero stavolta di essere stato chiaro io!

Devo ammettere che non ho per niente capito il tuo messaggio... metti i soggetti alle frasi... perchè non capisco a cosa ti riferisci ;)
Comunque per far vedere che la questione non vale con n composto basta che considero la successione avente come primo termine $ $n-1 $. È ovvio che $ a_2=n $. Chiamo k il minor primo che divide n.Quasi per definizione $ a_k=n+1 $ Da cui (dato che la sequenza è crescente) deriva che $ $a_n>n $ e quindi va contro l'ipotesi...
Se non hai capito l'astrazione in termini di successione (che in effetti non ho spiegato xD) basta che come ha detto kn consideri l' n-1esimo termine delle sequenze... e vedrai che si comporta proprio come la successione da me descritta perciò non sarà uguale a n come le ipotesi chiedevano ;)

ok così va molto meglio! grazie dario!