Per quanto riguarda il 16: considera la prima cifra di tutti i numeri che puoi ottenere secondo le indicazioni del testo: una volta stabilita questa, ti rimangono altre tre cifre da disporre, e puoi farlo in sei modi diversi (chiamiamo le tre cifre rimaste $ a, b, c $: si possono formare le stringhe $ abc, acb, bac, bca, cab, cba $). Per cui avrai sei numeri che hanno come prima cifra $ 1 $, sei numeri che hanno come prima cifra $ 2 $ e così via per $ 3 $ e $ 6 $. Questi 24 numeri sono tutti i numeri che puoi ottenere.
Segui lo stesso ragionamento per la seconda cifra: anche qui, una volta stabilita questa, le altre tre cifre si sistemano nel primo, terzo e quarto posto in sei modi possibili, per cui di nuovo ci saranno (all'interno dei 24 numeri complessivi) sei numeri che hanno come seconda cifra $ 1 $, sei che hanno il $ 2 $, sei che hanno il $ 3 $ e sei che hanno il $ 6 $.
Per la terza e la quarta cifra il discorso è uguale.
Quindi, sommando tutte le cifre delle unità dei 24 numeri otterrò $ 6+6\cdot2+6\cdot3+6\cdot6=72 $. Questo numero è uguale alla somma di tutte le cifre delle decine, di tutte le cifre delle centinaia e di tutte le cifre delle migliaia (infatti, abbiamo sempre, in tutti e quattro i posti, sei volte la cifra $ 1 $, sei volte la cifra $ 2 $, eccetera). Per cui la somma di tutti i 24 numeri è $ 72+72\cdot10+72\cdot100+72\cdot1000=79992 $.
Spero di essere stato comprensibile, anche se mi sembra un po' contorta come spiegazione...
