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Data una circonferenza ed un punto A interno ad essa,si consideri la generica corda passante per A,e sia M il punto d' intersezione delle tangenti alla circonferenza nei due estremi della corda.
Determinare il luogo dei punti M.

Uhm... aver risolto il mio primo esercizio di luogo geometrico ed insieme aver per la prima volta applicato l'inversione da solo mi gasa xD Per questi motivi la dimostrazione ovviamente non è a prova di bomba...
Prima di tutto applico un inversione rispetto alla circonferenza considerata, di conseguenza il luogo dei punti cercato diviene il luogo del punto medio M delle corde. Il luogo di questi punti è la circonferenza con diametro (chiamato O il centro della circonferenza considerata) AO. Tutti i punti giacciono sulla circonferenza dato che AMO è retto e AO è il diametro della circonferenza. Inoltre ogni punto della circonferenza è il punto medio di una corda, basta tracciare la corda per quel punto e per A, incontra la circonferenza con diametro AO in 2 punti , di cui uno però è A quindi non può essere quello il punto medio (a meno che non sia la corda tangente alla circonferenza di diametro AO) perciò il punto medio dovendo appartenere a quella circonferenza sicuramente è l'altro punto.
Ora riapplico inversione mandando la circonferenza con diametro AO in una retta perpendicolare ad AO e passante per il punto ottenuto invertendo A.

Una dimostrazione del genere è facilotta solo se si conosce una definizione di inversione... che dice che un inversione manda un punto P esterno alla circonferenza d'inversione nel punto medio del segmento i cui vertici sono i punti in cui le tangenti per P toccano la circonferenza. Se si sa questo è spontaneo applicare l'inversione... ora ci si ritrova davanti a qualcosa di più facile, basta fare un disegnino e vedere che è una circonferenza con diametro AO. Sapendo questo si nota che i punti devono formare un angolo retto con AO... lo si dimostra (e poi si dimostra il viceversa banale) e poi si conclude applicando l'inversione al contrario.

Il quesito si può anche risolvere osservando che la generica secante per A è la
polare m di M rispetto alla circonferenza e poichè essa retta passa per A, la
polare a di A deve passare per M ,quale che sia M.Il luogo richiesto è pertanto
proprio la retta a ed essa s'individua facilmente come la retta perpendicolare ad OA e
distante da O,centro della circonferenza,di $ \displaystyle \frac{R^2}{\bar{OA}} $ essendo R il raggio della circonferenza.