Pagina 1 di 1
numeri
Inviato: 22 nov 2009, 21:57
da federicoag
Sia m un intero positivo.Dimostrare che esistono m interi positivi consecutivi che non si possono scrivere nella forma
(a^3)+(b^5)+(c^7)+(d^9)+(e^11)
con a,b,c,d,e interi positivi.
Inviato: 22 nov 2009, 22:30
da jordan
Il che mi sembra ripreso da
qua con l'aggiunta con ce ne siano m consecutive.
[Edit: si molto bene dario
.. ]
Inviato: 23 nov 2009, 13:41
da dario2994
Bueno risolvo questo... e insieme anche quello proposto da Jordan al link che ha messo :)
Considero tutti i numeri esprimibili in quella forma che sono minori di n. Di sicuro $ $a\le\sqrt[3]{n} $; $ $b\le\sqrt[5]{n} $... e così via per tutte le variabili.
Assumiamo che le variabili siano prettamente indipendenti e cioè che possono assumere tutte qualsiasi valore intero tra 0 e il loro upperBound... ma allora la cardinalità dei numeri in quella forma minori di n è minore di:
$ $\sqrt[3]{n}\cdot\sqrt[5]{n}\cdot\sqrt[7]{n}\cdot\sqrt[9]{n}\cdot\sqrt[11]{n}\cdot $
Svolgendo il calcolo ottengo che quel numero equivale a (definisco così la funzione):
$ $f(n)=n^{\frac{3043}{3465}} $
Ora noto che se f(n)/n è minore 1/k allora esistono k numeri consecutivi minore di n non rappresentabili nel modo cercato (si dimostra per assurdo notando che se non fosse così il rapporto dovrebbe essere maggiore).
Quindi basta notare che f(n)/n tende a 0 per concludere:
$ $\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^\frac{422}{3465}}=0 $
Spero di averci preso :)