Somma dei primi divisori che termina con 0
Inviato: 23 nov 2009, 05:46
Per ogni intero n>1 sia f(n) la somma dei suoi divisori primi. Mostrare che per ogni n>14 esiste un intero m tale che n≤m≤2m e 10|f(m). 
Se m contiene solo fattori 2,3 e 5 nella sua scomposizione in primi allora è chiaro che f(m)=10. Quindi mi basta mostrare che per ogni n esiste un m della forma $ 2^a3^b5^c $ con $ a,b,c\in\mathbb N $ tale che $ n\le m\le 2n $ (suppongo che fosse questo il testo).
Lo dimostro per induzione:
Per n=15 esiste ed è m=30
Passo induttivo:
dimostro che se esiste per n esiste anche per n+1.
Sia k il numero di questa forma tale che $ n\le k\le 2n $ (che esiste per ipotesi induttiva)
-Se $ n+1\le k $ allora scelgo nuovamente k
-Se $ n+1>k $, allora ovviamente è $ n+1=k+1 $. in questo caso scelgo 2k:infatti ho che $ 2(n+1)>2k $ e $ 2k>k+1=n+1 $, il che rispetta le condizioni.
