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Ciao a tutti! Allenandomi sull'Engel, ho visto che usa un teorema che non conoscevo e che non riesco a dimostrare:
sia $ \displaystyle\frac{a}{n}=0,d_1d_2...d_k $, con $ \ d_i \in \{0, ..., b-1 \} $ la rappresentazione in base $ b $ di $ \frac{a}{n} $. Allora $ \ n | b^k $.
Qualcuno potrebbe darmi dei chiarimenti? Grazie!

Gauss91 ha scritto:Sia $ \displaystyle\frac{a}{n}=0,d_1d_2...d_k $, con $ \ d_i \in \{0, ..., b-1 \} $ la rappresentazione in base $ b $ di $ \frac{a}{n} $. Allora $ \ n | b^k $.

Io non lo chiamerei teorema (e credo forse ci sia che a/n è irriducibile altrimenti la tesi è falsa)

$ \displaystyle\frac{a}{n}=0,d_1d_2...d_k=\frac{\sum_{1 \le i \le k}{d_ib^{k-i}}}{b^{k}} $ $ \displaystyle \implies n \mid n\left(\sum_{1 \le i \le k}{d_ib^{k-i}} \right)=ab^k $ $ \displaystyle \implies n \mid b^k $.

ok grazie mille dimostrazione chiarissima. Sìsì cmq a/n irriducibile ovviamente altrimenti è chiaro che n può essere arbitrariamente grande! Scusa se a volte non specifico

jordan ha scritto:
$ \displaystyle\frac{a}{n}=0,d_1d_2...d_k=\frac{\sum_{1 \le i \le k}{d_ib^{k-i}}}{b^{k}} $ $ \displaystyle \implies n \mid n\left(\sum_{1 \le i \le k}{d_ib^{k-i}} \right)=ab^k $ $ \displaystyle \implies n \mid b^k $.

perchè scrivi $ \displaystyle\frac{a}{n}=0,d_1d_2...d_k=\frac{\sum_{1 \le i \le k}{d_ib^{k-i}}}{b^{k}} $ ?

Beh se provi a verificare, trovi che è una scrittura lecita e vera. Inoltre è utile per dimostrare il "lemma" (va bene qsta parola? ).

Ah inoltre, un'altra difficoltà (come se nn bastassero ): usa con altrettanta disinvoltura il fatto che, se $ \displaystyle\frac{a}{n} = 0,a_1...a_pd_1...d_kd_1...d_k... $ con periodo $ d_1...d_k $, allora la sequenza $ a, ba, b^2a, b^3a... $, cacolata modulo $ n $, ha periodo $ k $ e antiperiodo $ p $. Come prima, $ \frac{a}{n} $ è irriducibile, e $ b $ è la base del sistema di numerazione in cui è scritta l'espressione di $ \frac{a}{n} $.
Anche sulla falsariga della dimostrazione che mi hai dato prima, nn riesco purtroppo a raccapezzarmi! Però è bello quando si è all'inizio di un libro così difficile! ahah, i problemi non ti vengono, ma c'è comunque un senso di "impegno" molto bello!

Gauss91 ha scritto:Beh se provi a verificare, trovi che è una scrittura lecita e vera. Inoltre è utile per dimostrare il "lemma" (va bene qsta parola? ).

potresti farmi 1esempio,perchè forse non ho capito nemmeno il testo

eccoti un esempio. Poni $ b=10, a = 3, n = 8 $ Allora $ \displaystyle\frac{a}{n}=\displaystyle\frac{3}{8}=0,375 $. In questo caso, $ \displaystyle\sum_{1\le i \le k}{d_ib^{k-i}} = 375 $, da cui $ \displaystyle\frac{a}{n} = \displaystyle\frac{375}{1000} = 0,375 $