OliForum Matematico

Niente di trascendentale, ma puo' risultare interessante. Calcolare il valore di:

$ \lim_{x\to 3}\frac{\sqrt[5]{x^2-3}-\sqrt[5]{6}}{x-3} $

E' ammesso l'uso del teorema di De L'Hospital? Se sì, si conclude in un passaggio.

andreac ha scritto:E' ammesso l'uso del teorema di De L'Hospital? Se sì, si conclude in un passaggio.

Si puo' fare anche senza. E' piu lungo, ma piu' "soddisfacente", piu' "olimpico"

$ \displaystyle\lim_{x\to3}\frac{(\sqrt[5]{x^2-3}-\sqrt[5]{6})[\sqrt[5]{(x^2-3)^4}+\sqrt[5]{6(x^2-3)^3}+\sqrt[5]{6^{2}(x^2-3)^2}+\sqrt[5]{6^{3}(x^2-3)}+\sqrt[5]{6^4}]}{(x-3)[\sqrt[5]{(x^2-3)^4}+\sqrt[5]{6(x^2-3)^3}+\sqrt[5]{6^{2}(x^2-3)^2}+\sqrt[5]{6^{3}(x^2-3)}+\sqrt[5]{6^4}]}= $
$ \displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x+3}{\sqrt[5]{(x^2-3)^4}+\sqrt[5]{6(x^2-3)^3}+\sqrt[5]{6^{2}(x^2-3)^2}+\sqrt[5]{6^{3}(x^2-3)}+\sqrt[5]{6^4}}=\frac{6}{5\sqrt[5]{6^4}} $

Good!

io lo farei così
$ \displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt[5]{x^2-3-6+6}-\sqrt[5]{6}}{x-3}= $ posto $ t=x-3 $ a $ \displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[5]{t(t+6)+6}-\sqrt[5]{6}}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[5]{6}\left(\sqrt[5]{\frac{t(t+6)}{6}+1}-1\right)}{t}= $$ \displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{\sqrt[5]{6}\left(1+\frac{t(t+6)}{30}-1\right)}{t}=\frac{\sqrt[5]{6}}{5} $