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Siano $ (a,b,c) \in \mathbb{N}_0^3 $ fissati tali che $ \text{gcd}(a,b)=1 $ e $ \text{gpf}(a+b) \ge 3 $. Mostrare che esistono infiniti $ n \in \mathbb{N}_0 $ tali che $ \omega(n)=c $ e $ n \mid a^n+b^n $.
(Generalizzazione imo 2000/5)

Ps. Nel problema originale si richiedeva (a,b,c)=(2,1,2000) e l'esistenza di almeno un tale n.

Aspetta, gpf(a+b)>=3 vuol dire che a+b non è una potenza di 2?

Uhm... anche io lo inteso così... jordan potevi anche scriverlo se è questo il significato, alleggerendo un po le notazioni molta più gente proverebbe i tuoi esercizi ;)

ma $ \omega(n) $ che cos'è?

Il numero dei primi che dividono n ;)

edriv ha scritto:Aspetta, gpf(a+b)>=3 vuol dire che a+b non è una potenza di 2?

Si, e scommetto che conosci almeno un altro teorema famoso che richiede la stessa ipotesi..

dario2994 ha scritto:Uhm... anche io lo inteso così... jordan potevi anche scriverlo se è questo il significato, alleggerendo un po le notazioni molta più gente proverebbe i tuoi esercizi

In un post recentemente ho anche scritto tutte le notazioni piu conosciute.. se qualcuno ha ancora dubbi sul testo poi potrebbe comunque chiedere per mp..

Chiamo $p$ un primo dispari che divide $a+b$ (esiste per ipotesi). Chiamo $x=\upsilon_p(a+b)$. Definisco $c_m=a^{p^m}+b^{p^m}$.

Fatto Inutile: Dato $p$ un primo dispari e $n$ intero positivo esiste $k$ tale che $\omega(c_k)\ge n$
Dimostro che la sequenza $c_m$ ha infiniti primi (cioè esistono inf primi che dividono almeno un elemento della sequenza)... assumo per assurdo ne abbia un numero finito, che sono $p,p_1,p_2,p_3,\dots p_z$. Per lifting the exponent vale:
$\upsilon_p(c_m)=\upsilon_p(a+b)+\upsilon_p(p^m)=x+m$
Ed inoltre, sempre per lifting the exponent definitivamente l'esponente degli altri primi nella fattorizzazione di $c_m$ è costante, quindi esistono $d_1,d_2,\dots , d_z$ tali che definitivamente:
$\displaystyle c_m=p^{x+m}\prod_{i=1}^zp_i^{a_i}$
Che porta all'assurdo perchè se ne ricaverebbe che definitivamente $\displaystyle \frac{a^{p^m}+b^{p^m}}{p^m}$ è costante... che è perlomeno strano.
Poichè banalmente $u\le v$ implica $c_u|c_v$ il fatto che la sequenza $c_m$ abbia infiniti primi equivale alla tesi del fatto.

Passo al problema... il fatto inutile mi assicura che esiste un k tale che esistono $p,p_1,p_2,\dots p_{c-1}$ primi che dividono $c_k$. Chiamo $s=\prod_{i=1}^{c-1}p_i$.
Ancora una volta per lifting the exponent, dato $j$ intero non negativo vale $\displaystyle p^{k+j}s|a^{p^{k+j}s}+b^{p^{k+j}s}$ e perciò ho trovato infinite soluzioni

p.s. qualcosa mi puzza ma non tanto...

edit: corretto

dario2994 ha scritto:Fatto Inutile: Dato $p$ un primo dispari e $n$ intero positivo esiste $k$ tale che $\omega(c_m)\ge n$

Era un $ c_k $ credo..

dario2994 ha scritto:il fatto inutile mi assicura che esiste un k tale che esistono $p,p_1,p_2,\dots p_{c-1}$ primi che dividono $c_k$.

Ti piace proprio la $ c $ eh?

Per il resto all right