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Disfida di mezzo

9. Gli Uomini Neri [40 punti]
Gli Uomini Neri dopo aver catturato i 13 nani stanno litigando su come cucinarli. Alla fine
decidono che almeno uno debba essere arrostito lentamente, almeno due siano schiacciati
e ridotti in gelatina, e infine almeno nove vengano tritati finemente e bolliti; la limitata
fantasia degli Uomini Neri non consente loro di concepire altre soluzioni culinarie, quindi
ognuno dei 13 nani deve essere cucinato in una di queste tre maniere. In quanti modi
possono essere cucinati i poveri nani?
N.B.: i nani vanno considerati distinti, quindi una configurazione in cui Thorin viene
arrostito e Bombur bollito `e diversa da una situazione in cui Bombur viene arrostito e
Thorin bollito. (Thorin si offenderebbe parecchio se sapesse che un giovane umano senza
barba pu`o anche solo pensare di confonderlo con Bombur!)

Se si esludono le scelte obbligate, resta solo un nano di cui non è definita la morte. A questo punto quindi separo tre casi: quello in cui il nano extra sia bollito, quello in cui sia arrostito e quello in cui sia schicciato.
Caso in cui è bollito: devo scegliere 10 nani all'interno dei 13 per bollirli; poi devo sceglierne 1 tra i 3 rimanenti per arrostirlo e a quel punto gli altri da schiacciare saranno determinati. Le combinazioni possibili sono quindi:
$ $$ \binom{13}{10} \binom{3}{1} = 858 $$ $
Per il caso 2 similmente ottengo:
$ $$ \binom{13}{2} \binom{11}{9} = 4290 $$ $
Caso 3:
$ $$ \binom{13}{3} \binom{10}{9} = 2860 $$ $
Il risultato che cerco è la somma dei tre casi:
$ $$ 858 + 4290 + 2860 = 8008 $$ $

Dovrebbe essere giusto...

E' quello che viene anche a me