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In un dato pentagono ABCDE, i triangolo ABC; BCD; CDE; DEA; EAB hanno la stessa area. I segmenti AC e AD intersecano BE sui punti M e N.
Si dimostri che BM=EN

Se i triangoli hanno la stessa area, il pentagono dovrebbe essere regolare, non vedo altro modo. Le diagonali sono le basi dei triangoli isosceli. Ogni angolo interno è tagliato in tre parti uguali dalle diagonali, ciò significa che ad esempio il triangolo ABM è isoscele perché i due angoli alla base, che è AB, sono congruenti, di 36°. Possiamo dire che, essendo un pentagono regolare, tutti i lati sono congruenti e, avendo in due triangoli isosceli (ABM e BNC) gli angoli alla base congruenti tra i triangoli e la base congruente perché lato del pentagono, possiamo dire che i due triangoli sono congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli e ciò implica che AM e NC sono congruenti, essendo lati corrispondenti in triangoli congruenti. CVD

Luca_S95 ha scritto:Se i triangoli hanno la stessa area, il pentagono dovrebbe essere regolare, non vedo altro modo.

Dimostralo che è l'unico caso possibile se ne sei convinto, senza la dimostrazione di questo punto non va bene.

Non mi pare che sia vero quanto detto da luca...
Provo con la mia.
Giocando con le altezze dei triangolini (mostrandole congruenti a coppie consecutivamente) si dimostra che il pentagono ha le diagonali parallele ai lati. Da cui si ricava che MBCD, NEDC sono parallelogrammi da cui la tesi
$ MB\cong DC\cong EN $

p.s. bell'esercizietto :)

Ancora più semplice: con una semplicissima catena di uguaglianze si arriva a dire che EAN e AMB hanno la stessa area, cioè, tracciando AH perpendicolare a EB $ EN\cdot AH/2 = BM\cdot AH/2 $, da cui $ EN=BM $

Ho notato una cosa... che non so quanto sia giusta xD
Mi pare che tutti i pentagoni che rispettano la tesi sono ottenibili per affinità dal pentagono regolare... In teoria lo anche dimostrato, ma essendo la prima volta che applico l'affinità non sono molto sicuro.
La dimostrazione si base sul fatto che l'affinità non modifica il parallelismo, quindi qualsiasi pentagono affine a quello regolare mantiene le diagonali parallele ai lati.
Per dimostrare che sono tutti ragiono al contrario preso un pentagono A'B'C'D'E'con quelle proprietà applico una affinità che manda A'B'C' nel triangolo ABC che rappresenta 3 vertici adiacenti di un pentagono regolare... tracciando le dovute parallele ottengo una figura del genere (con la possibilità di variare DE). Inoltre so che CD è parallelo a BE. È chiaro che se DE corrisponde con il lato del pentagono regolare la proprietà è soddisfatta... è facile notare che è l'unico caso dato che al salire di DE, l'angolo ABE aumenta, mentre l'angolo ECD diminuisce... quindi non diverrano mai congruenti... stessa cosa al contrario quando DE scende... quindi l'unico pentagono che rispetta quel parallelismo fissato ABC è il pentagono regolare... quindi l'affinità manda A'B'C'D'E' proprio nel pentagono regolare.

È probabile che abbia detto moooolte banalità ma mi sembrava carino...

p.s. in questo modo l'esercizio viene pulito pulito... l'affinità non modifica i rapporti tra segmenti sulla stessa retta... affinità che manda nel pentagono regolare e da là è fatta (come ha mostrato anche luca) :)

dario2994 ha scritto:Non mi pare che sia vero quanto detto da luca..

Io infatti non ho tetto che è giusto, ho detto che dovrebbe dimostrare che è l'unico caso possibile se ne fosse stato convinto, ma non ho detto che doveva esserne per forza convinto...se gli avessi detto che era sbagliato gli avrei dato un hint...xD...
va beh, scemenze a parte, è parecchio figa la generalizzazione... ..era del Sud Africa il problema...li ne mettono una caterva di geometria, per lo meno nelle annate che ho fato io..

Ma che cosa c'è sul forum in questi giorni :|
Io scrivo quello che voglio dire... PUNTO
Non tentate di trovare significati nascosti nei miei messaggi, non ho scritto da nessuna parte che tu gli avevi dato ragione (tra l'altro era palese che il tuo era un "bluff" sempre se si scrive così).
I puntini non li metto per lasciare implicito qualcosa, solo perchè è una punteggiatura facile e che trovo abbastanza efficiente scrivendo al pc.

p.s. Non è che sono impazzito tutto ad un botto... e che più di una volta sono stato frainteso sul forum nell'ultima settimana :|

Già! Io sono nuovo, ma mi pare che questo forum sia particolarmente "caldo" in fatto di fraintendimenti! Siamo qui per imparare e divertirci come ha detto saggiamente fph in uno dei tanti suoi interventi riparatori !
Forse a volte lasciare correre i messaggi sarebbe molto meglio.

Ora arriva la parte matematica del messaggio Gare del Sud Africa... toglimi una curiosità, ma dove potrei trovare un "elenco" di gare matematiche da cui scaricare dei problemi? Il fatto che esistano delle gare in Sud Africa mi porta a pensare che ne esistano decine e decine di altre!