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Scusatemi, ho un dubbio: mi spieghereste una volta per tutte la differenza tra relazione, applicazione e funzione?
Se non sbaglio, una relazione non è detto che sia tra insiemi numerici, giusto?
E la differenza tra applicazione e funzione?

Facciamo un po' di ordine...

Relazioni e funzioni sono cose che uno definisce nell'ambito degli insiemi, ma con ciò intendendo insiemi qualunque, non necessariamente numerici.

Una relazione tra due insiemi $ A $ e $ B $ è semplicemente un sottoinsieme $ R \subseteq A \times B $. Questa definizione formale cattura l'idea intuitiva di "relazione" come "qualcosa che lega in qualche modo gli elementi di un insieme agli elementi di un altro insieme". Il "legame" tra elementi $ a \in A, b \in B $ è inteso formalmente come "appartenenza della coppia ordinata $ (a,b) $ all'insieme $ R $". Per maggiore espressività, uno di solito scrive $ aRb $ al posto di $ (a,b) \in R $.
Poi, una relazione su un insieme $ A $ è un sottoinsieme $ R \subseteq A \times A $. In questa particolare famiglia di relazioni rientrano, ad esempio, le relazioni di equivalenza su $ A $.

Una funzione è qualcosa di più di una relazione. La definizione formale è la seguente: una funzione $ f: A \to B $ da un insieme $ A $ ad un insieme $ B $ (non necessariamente diversi!) è un sottoinsieme $ f \subseteq A \times B $ tale che per ogni $ x \in A $ esiste ed è unico $ y \in B $, denotato come ti aspetteresti $ y=f(x) $, tale che $ (x,f(x)) \in f $. È chiaro che una funzione è una relazione, perché è un sottoinsieme di $ A \times B $, ma non vale certamente il viceversa! Questa è la definizione formale; l'idea che essa vuole catturare è quella - spesso data come definizione informale - di "legge", "macchina" che prende ogni elemento $ x \in A $, lo "processa" e lo manda in un unico elemento $ f(x) \in B $.

Poi, nota che termini come "funzione", "applicazione", "mappa", "operatore" ecc. sono tutti sinonimi, semplicemente in alcuni contesti si preferisce, forse per motivi storici, di utilizzare uno piuttosto che un altro.

Secondo la maggior parte dei testi scolastici funzione e applicazione sono sinonimi. Può darsi che esistano distinzioni più raffinate, e in tal caso sono sicuro che non mancherà chi vorrà informarcene.
Per quanto riguarda relazioni e funzioni il tipo di insiemi non c'entra: puoi definire funzioni su insiemi di qualsiasi tipo, anche non numerici. Il punto è un altro: la relazione è una legge di corrispondenza tra due insiemi (eventualmente coincidenti) tale che a un elemento del primo insieme possano corrispondere un qualunque numero di elementi del secondo insieme. Viceversa la funzione è una legge che associa a ogni elemento del primo insieme uno e un solo elemento del secondo. Quindi la funzione è un particolare tipo di relazione.

Beh non proprio... i testi scolastici in genere definiscono una funzione come un particolare tipo di applicazione che ha proprio come caratteristica l'unicità dell'elemento di arrivo. Del tipo "una funzione da A a B è un'applicazione che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B". Questa definizione da una parte lascia intravedere una certa differenza fra applicazione e funzione, dall'altra non definisce la parola "applicazione", quindi si rivela abbastanza vacillante dal punto di vista logico.
Questo rivela che forse c'è un po' di confusione per quanto riguarda applicazioni e funzioni, almeno in ambienti scolastici. Se ci sono utenti di questo forum che hanno voglia di diminuire la mia immensa ignoranza, sarei grato se mi illuminassero!

Oh, no, per carità! Ve lo posso assicurare, dopo tre anni di studio universitario. Applicazione e funzione sono sinonimi. Punto! Lasciamo stare i virtuosismi di certi libri di testo, per favore!

Concordo con Ani-sama. Se volete vi faccio l'elenco dei testi (alcuni più autorevoli, altri meno) che recitano: "Si dice applicazione o funzione...."