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Siano x,y, due interi non nulli tali che z:=(x²+y²)/(x+y) è intero. Mostrare che se z|2009 allora x=y.

(Da un vecchio tst tedesco, ma ricordo di averlo visto anche in una olimpiade giapponese, e riproposto ancora in un file dello stage di Parma..)

Riarrangiando, si ha $ x^2 - zx - zy + y^2 = 0 $(*). Risolvendola, per esempio, per $ x $, si ha $ x_{1,2}=\displaystyle\frac{z}{2} \pm \sqrt{\displaystyle\frac{z^2}{4} + zy -y^2} $. Siccome l'equazione * ha effettivamente soluzioni, dovrà essere $ \displaystyle-\frac{z^2}{4} - zy + y^2 \le 0 $, da cui $ \displaystyle\frac{z}{2}(1-\sqrt{5}) \le y \le \displaystyle\frac{z}{2}(1+\sqrt{5}) $.
Ora, $ 2009 $ ha solo divisori dispari, quindi $ z $ è dispari, quindi $ \displaystyle\frac{z}{2} $ non è intero. Essendo $ y $ intero, l'unico valore possibile è $ y = z $, che sostituito nell'espressione di $ x $ dà $ x = z $, dato che l'altra soluzione $ x=0 $ non è accettabile per ipotesi. Si ha dunque la tesi.

[quote="Gauss91"]Riarrangiando, si ha $ x^2 - zx - zy - y^2 = 0 $(*). quote]

ovvero?

Dalla definizione di partenza: $ z=\displaystyle\frac{x^2+y^2}{x+y} $.
O c'è qualcosa che non va?

Gauss91 ha scritto:Dalla definizione di partenza: $ z=\displaystyle\frac{x^2+y^2}{x+y} $.
O c'è qualcosa che non va?

Se non sono completamente fuso dovresti avere

$ x^2-zx-zy+y^2=0 $, c'e' il $ ...+y^2 $

Gauss91 ha scritto:$ \displaystyle\frac{z}{2}(1-\sqrt{5}) \le y \le \displaystyle\frac{z}{2}(1+\sqrt{5}) $.
Ora, $ 2009 $ ha solo divisori dispari, quindi $ z $ è dispari, quindi $ \displaystyle\frac{z}{2} $ non è intero. Essendo $ y $ intero, l'unico valore possibile è $ y = z $

probabilmente mi sono perso qualcosa io, ma non capisco la sequenza logica di questi passaggi....

Io sì! E capisco adesso che sono sbagliati: mi sono misteriosamente dimenticato dei valori razionali del coefficiente di z/2, ho preso solo quelli interi... mea culpa! Comunque, per il - al posto del +, è un errore di scrittura (infatti poi la soluzione dell'equazione è corretta). Adesso modifico.