OliForum Matematico

Ciao a tutti,
volevo chiedervi come si determini il rapporto del lato di un triangolo equilatero inscritto in un altro triangolo equilatero; oppure il rapporto fra i lati di un esagono e il triangolo equilatero in cui è inscritto. Palesamente si puo vedere ad occhio il rapporto fra le aree, ma come dimostrarlo matematicamente?

In mille maniere (penso). Nel primo caso il rapporto è $ \displaystyle\frac{1}{2} $: il triangolino dentro è composto dall'unione dei punti medi del triangolo fuori. Si dimostra banalmente con le similitudini che queste unioni sono la metà del lato ad esse parallelo (teorema di Talete).
Per l'esagono, dividilo in sei triangoli equilateri tramite le sue diagonali. Basta che dimostri (è facile vedendo gli angoli) che i triangoli dentro sono congruenti a quelli "di completamento" fuori. Il triangolo grande ha 9 triangolini uguali tra loro e simili ad esso, quindi su ogni lato ce ne saranno $ \sqrt{9} = 3 $, mentre c'è un solo lato dell'esagono: il rapporto è $ \displaystyle\frac{1}{3} $, che NON è il rapporto tra le aree, che è $ \displaystyle\frac{2}{3} $

Willy67 non ha mai detto che i vertici del triangolo interno debbano essere i punti medi dei lati del triangolo esterno.

Ostrega! ahaha postare a quelle ore pericolose non va bene!
Allora hai bisogno di altri parametri. Per esempio, se il triangolo inscritto stacca sui lati di quello circoscritto due segmenti di lunghezza $ a $ e $ b $, si dimostra facilmente con la trigonometria che il lato del triangolo inscritto è $ l=\sqrt{L^2 - 3ab} $, dove L è il lato del triangolo circoscritto. Se hai altri parametri ancora, penso che con la trigonometria (in generale) si risolva facilmente il problema.
Scusa per la superficialità del messaggio precedente!

Scusa Gauss ma tu calcola che io di Trigonometria non so nulla. Dimostrami qual'è il rapporto di un triangolo equilatero con il triangolo equilatero ( che è unico ) in esso inscritto!

No willy non è unico. Ce ne sono infiniti. Per convincerti prendi un triangolo equilatero ABC, e disegna sui suoi lati AB, BC, CA rispettivamente i punti H, K, L tali che AH = BK = CL. Troverai che il triangolo HKL è equilatero (ed è inscritto nel triangolo "di fuori").