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Si determinino tutte le coppie $ (x, y) $ di numeri reali che verificano l’equazione $ \frac{4}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} $


$ \frac{4}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} $
$ 4xy=y(x+y)+x(x+y) \\ 4xy=xy+y^2+x^2+xy \\ x^2 -2xy+y^2=0 $
si nota per commutativa che i valori dati a x e y possono essere invertiti e che inoltre l'equazione è verificata per x=y infatti sostituendo x a y

$ x^2+x^2-2x^2=0 $ e che inoltre risolvendo

$ y \pm\sqrt{y^2-y^2}=y $ qindi l'equazioni ammette infinite soluzioni se e solo se x=y.
(perchè quando vado a capo con \\ mi sposta la riga un po' a destra?)

è orribile, ma può andare?

No, c'è un po' di roba che non va, e un po' di roba che è scritta male.

Quando dici "commutativa", vuoi in realtà dire "simmetria".

La frase "l'equazioni ammette infinite soluzioni se e solo se x=y" è un contorsionismo logico, su cui qualcuno potrebbe anche obiettare. E' meglio dire una cosa tipo "l'equazione ammette infinite soluzioni, ovvero tutte le coppie (x,y) tali che x=y".

L'espressione data dal testo ha valore definito se e solo se x, y e x+y non sono 0. Questo devi reimporlo alla fine, escludendo (0,0) dalle soluzioni.

Al posto degli ultimi passaggi bruttini, puoi scomporre
$ x^2-2xy+y^2 = (x-y)^2 = 0 $,
da cui immediatamente x=y.

Alternativamente, riconduciti alla disuguaglianza AM-HM, ricordando le condizioni di uguaglianza.

P.S. vai a capo chiudendo il tag tex, premendo invio ed aprendo un nuovo tag tex.

Per una volta mia ha preso sul serio

quando dico commutativa intendo dire che per la commutativa x e y sono simmetrici...ho scritto commutativa per giustificare in un certo senso, per non dirlo direttamente senza nessun minimo di dimostrazione, è sbagliato?Devo dimostrarlo in qualche altro modo?

Perfetto per il fatto dello 0, in effetti non l'avevo notato, non tenendo più conto dell'equazione iniziale. E il quadrato di binomio è più carino

Grazie. Qualsiasi altro consiglio è benaccetto.