OliForum Matematico

questo problema è tanto semplice nell'enunciato quanto difficile (a mio modesto parere) nella risoluzione.

Dimostrare che 1>0

Non so come definirlo forse "assioma"
Non c'è bisogno di dimostrare questo, 1 è solo il nome e il segno grafico dato a una quantità che è in se stessa maggiore della quantità che noi chiamiamo 0 non pensare a valori astratti, ma ad una quantità a qualcosa....0 è il nulla proprio l'assenza di "quantità" LoL

no aspetta... 1 e 0 non sono considerati da un punto di vista simbolico quanto al loro significato intrinseco... elementi neutri della somma e del prodotto...

penso che sia per definizione.

la definizione del valore di essi, viene prima delle operazioni, prima di qualsiasi cosa bisogna stabilire un unità da cui poi tutti gli altri valore sono multipli, nel campo dei numeri naturali questo è l'1 che è il primo valore maggiore del valore nullo 0 e che è quindi minore di tutti gli altri. Anche nella matematica devono esserci necessariamente delle convenzioni....comunque ritengo che questo tipo di problemi riguardi più la filosofia che la matematica XD

mi sembra immediato che l'elementro neutro della moltiplicazione sia l'unita' di "misura", almeno se la moltiplicazione e' definita nel modo usuale basata sull'addizione ripetuta

Forse è meglio definirlo come hai detto tu perchè se no l'infinitesimalità(se esiste questa parola) dà qualche problema su cosa sia l'unità base XD

considera che sostanzialmente si parte sempre dai naturali per definire il resto.

Quello che intendo e' che se prendi un monoide con definita una operazione addizione e sia ben ordinato (questo dovrebbe imporre che l'elemento neutro dell'addizione e' il minimo) e definisci un'altra operazione moltiplicazione come la reiterazione dell'addizione, allora l'elemento neutro della moltiplicazione e' l'elemento successivo all'elemento neutro dell'addizione, ovvero il minimo del sottoinsieme ottenuto togliendo l'elemento neutro dell'addizione.

Probabilmente il motivo per cui state filosofeggiando sul nulla in questo modo è che non è chiaro in quale teoria vada dimostrata quell'affermazione.

Nella teoria dell'aritmetica di Peano usuale (per intenderci, quella data sul linguaggio (0,1,+,*,<)), 0<1 è (parte di) un assioma.

Nella teoria dei campi ordinati (ad esempio $ $ \mathbb{R} $ o $ $ \mathbb{Q} $), invece, si dimostra con qualche passaggio (che al momento non ho voglia di ricordare) a partire dagli assiomi che definiscono l'ordine sul campo che $ $ \forall x \; x^2 > 0 $, e quindi $ $ 1 = 1^2 > 0 $

Tanto per dire, fissiamo alcune definizioni:
1. un campo è un insieme con somma e prodotto, con elementi neutri 0,1, di modo che ogni elemento ha un opposto rispetto alla somma e ogni elemento diverso da 0 ha un inverso rispetto alla moltiplicazione; valgono associatività, commutatività, distributività.
2. un ordinamento di un campo K è un insieme P di K tale che
(a) K è l'unione disgiunta di P, -P e 0 (-P={-p, p in P}).
(b) se x,y stanno in P, allora x+y e xy stanno in P.

Diciamo poi che a>b se a-b sta in P. Supponiamo di avere un campo ordinato, ovvero (K,+,*,P)

Teo: 1-0=1 sta in P.
Dim: Se per assurdo 1 non sta in P, allora -1 sta in P, per la proprietà (a); del resto però (-1)(-1)=1 sta in P per la proprietà (b). Assurdo.

Contenti?

muchas gracias