OliForum Matematico

Salve a tutti,non so se questa è la sezione più adatta,anche perchè il mio quesito non è un vero e proprio prolema olimpico,ma credo possa risultare interessante.
Studiando le potenze a esponente reale mi sono chiesto se il numero a elevato a b,con b irrazionale,fosse in generale razionale o irrazionale.Ho cercato per un pò di capire come andassero le cose,ma non ci sono riuscito,per cui ho visto in internet se c'era qualcosa che mi potesse aiutare e ho trovato che uno dei problemi di hilbert riguardava proprio questo argomento!!è stato risolto parzialmente da un risultato dimostrato da un matematico,Gelfond,che afferma se la base è algebrica e ovviamente diversa da zero e da 1 e l'esponente è irrazionale algebrico,allora il numero è trascendente.Mi chiedevo,però,se fosse possibile dimostrare con metodi elementari l'irrazionalità e non la trascendenza del numero,anche in casi più ristretti,come base intera e esponente irrazionale qualsiasi.Ciao a tutti!!

Sto scrivendo sicuro una banale ca**ata quindi perdonatemi XD

$ k^{\sqrt{n}}= \sqrt{k^{2\sqrt{n}}} $
Non basta sapere che $ k^{2\sqrt{n} $ non è un quadrato?

non credo funzioni perché k^(2*radice-n) non è altro che il quadrato del numero di partenza,ke se fosse razionale sarebbe esprimibile come p/q,con p e q interi positivi,quindi quello che hai scritto sarebbe il quadrato del razionale di partenza,che appunto è un quadrato e la sua radice quadrata sarebbe razionale..

Si hai ragione, ma a volte cambiare forma a qualcosa lasciando lo stesso significato è molto importante, quindi magari poteva servire a qualcosa....

Comunque $ \sqrt{n} $ è irrazionale per ipotesi, tutti i quadrati perfetti possono essere scritti come $ k^{2n} $ che è diverso da $ k^{2\sqrt{n}} $

Altra grande ca**ata?

Si,infatti,il numero potrebbe non essere intero,ma razionale qualsiasi si..

quello che dici è falso...
ad esempio si dimostra abbastanza facilmente che $ \log_35 $ è irrazionale, ma $ \displaystyle 3^{\log_35}=5 $

Si,infatti ci stavo pensando da ieri!!Però non riesco a capire:dato che tutti i logaritmi di un numero non potenza razionale della base sono irrazionali ci sn tre possibilità:se detti logaritmi sono algebrici allora il teorema di gelfond è falso(cosa alquanto improbabile);se invece questi logaritmi sn trascendenti il 7 problema di Hilbert è risolto!(in modo così banale??);oppure..è wikipedia che dice una stupidaggine e non è proprio quella riportata la formulazione del settimo problema di Hilbert.Io sarei propenso a dire ke la terza ipotesi è più plausibile,o no?

a proposito,come si fas a dimostrare che un logaritmo è trascendente o algebrico?per essere algebrico deve essere soluzione di un'equazione a coefficienti interi,ma si escludono quelle esponenziali vero?

io non voglio troppo addentrarmi in cose che non conosco, ma il teorema per come l'hai enunciato credo sia vero. Poi però hai chiesto di provare a dimostrare che con base intera positiva e esponente irrazionale qualsiasi ottieni un irrazionale, il che invece non è vero.
Il logaritmo si dimostra facilmente che è irrazionale, poi non ho idea di come si faccia a dimostrare che è trascendente e suppongo non sia cosi elementare come dimostrazione (ma potrei anche sbagliarmi, e mi è anche già successo).
Il punto è che a causa della mia ignoranza in merito non posso risponderti in modo adeguato, magari sarebbe una buona idea spostare questo topic in MNE e sperare nella risposta di qualcuno che ne sa più di me

Si,però un irrazionale o è algebrico o è trascendente.Se quel logaritmo fosse algebrico rispetterebbe le ipotesi del teorema e quindi il numero che ne viene fuori dovrebbe essere trascendente e invece non lo è!quindi per esclusione dovrebbe essere trascendente,ma allora il problema che non era stato ancora risolto adesso lo dovrebbe essere,in quanto se una potenza con esponente trascendente non è trascendente e invece e^pigreco lo è,questo vuol dire che data la condizione sull'esponente,non si può dire nulla sul risultato senza considerare il caso particolare o qualche "sotto-caso"..è questo che non riesco a capire:è mai possibile che questa è la risposta al settimo problema di Hilbert?Ne dubito fortemente,ma al contempo non trovo l'errore nel mio ragionamento..se qualcuno mi aiuta..vi ringrazio in anticipo..

Is a b transcendental, for algebraic a ≠ 0,1 and irrational algebraic b ? Resolved. Result: yes, illustrated by Gelfond's theorem or the Gelfond–Schneider theorem.

Se qualcosa non torna in Wiki italiana, funziona spesso il confronto con quella inglese, la quale risponde chiaramente al quesito.

ghilu ha scritto:Se qualcosa non torna in Wiki italiana, funziona spesso il confronto con quella inglese, la quale risponde chiaramente al quesito.

Finalmente un discepolo!
Io vorrei arrivare ancora oltre, e dirvi di ignorare del tutto quella italiana, non solo quando c'è un campanello d'allarme tipo una formula che non torna.

Tibor Gallai ha scritto:

ghilu ha scritto:Se qualcosa non torna in Wiki italiana, funziona spesso il confronto con quella inglese, la quale risponde chiaramente al quesito.

Finalmente un discepolo!
Io vorrei arrivare ancora oltre, e dirvi di ignorare del tutto quella italiana, non solo quando c'è un campanello d'allarme tipo una formula che non torna.

Così non aiutate nessuno! Se credete sia sbagliato correggetelo lasciando una spiegazione

Ma perché?? Ti abbiamo appena aiutato dicendoti di leggere la versione inglese...
Correggere quella italiana è a nostra discrezione, e personalmente non so neanche di cosa si stia parlando perché non ho letto il thread.