OliForum Matematico

Sia S l'insieme di tutti gli interi positivi tali che 2009 non compare nella loro rappresentazione decimale. Mostrare che $ \sum_{x \in S}{\frac{1}{x}} $ non diverge.

Titolo e testo del problema non coincidono... immagino che quello sbagliato sia il testo(?)

EDIT: niente, capito grazie a pak-man

Non avevo interpretato il " - " nel titolo come un "meno", ma come un'ulteriore spiegazione di sum(x), e quindi non mi ritrovavo

Haile ha scritto:Titolo e testo del problema non coincidono... immagino che quello sbagliato sia il testo(?)

No, è giusto infatti $ $\sum_{x\in S}\frac{1}{x}=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i}-\sum_{x\not\in S}\frac{1}{x} $, che è il titolo del topic

Ci ho passato alcune ore sopra prima di scoprire che qualcuno lo ha già fatto, e con un metodo molto più immediato di quello a cui avevo pensato io!
http://www3.webng.com/goldoniluca/PhD/ent/as.pdf
Sarebbe interessante ora calcolare il valore limite approssimato della somma, visto che questa è finita.

<enigma> ha scritto:Ci ho passato alcune ore sopra prima di scoprire che qualcuno lo ha già fatto, e con un metodo molto più immediato di quello a cui avevo pensato io!
http://www3.webng.com/goldoniluca/PhD/ent/as.pdf
Sarebbe interessante ora calcolare il valore limite approssimato della somma, visto che questa è finita.

http://mathworld.wolfram.com/KempnerSeries.html

il valore approssimato della serie, quando viene esclusa una sequenza di 4 cifre, è circa $ ~ 10^4 \cdot \ln(10) \approx 23025.85 $

Interessante comunque il problema... prima di leggerlo avrei scommesso per la divergenza

pak-man ha scritto:$ $\sum_{x\in S}\frac{1}{x}=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i}-\sum_{x\not\in S}\frac{1}{x} $

Hmm, questo serve a dare una motivazione al titolo, ma di per sé non significa nulla. Voglio dire: non si può mettere un = tra quelle due espressioni.
E come sapete, di risultati "paradossali" sui riarrangiamenti delle serie ce n'è a bizzeffe, abbastanza da scoraggiare i più ovvi tentativi di dare un significato a quel segno di =...

Tibor Gallai ha scritto:

pak-man ha scritto:$ $\sum_{x\in S}\frac{1}{x}=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{1}{i}-\sum_{x\not\in S}\frac{1}{x} $

Hmm, questo serve a dare una motivazione al titolo, ma di per sé non significa nulla. Voglio dire: non si può mettere un = tra quelle due espressioni.
E come sapete, di risultati "paradossali" sui riarrangiamenti delle serie ce n'è a bizzeffe, abbastanza da scoraggiare i più ovvi tentativi di dare un significato a quel segno di =...

Puoi spiegare questa cosa meglio... una volta (non ricordo il contesto) mi avevate corretto un errore del genere con le serie infinite... ma non avevo indagato, ora vorrei capire cosa c'è di sbagliato in quell'uguaglianza che a me pare palesemente vera :|

Semplicemente una somma infinita, detta anche serie, non è una somma. La notazione $ $ \sum_{i=0}^{+\infty} a_i $ rappresenta infatti il limite della successione $ $ a_0 $, $ $ a_0 + a_1 $, $ $ a_0 + a_1 + a_2 $, ecc., se questo limite esiste (in particolare se è finito la serie si dice convergente, se è infinito divergente), mentre se questo limite non esiste la notazione rappresenta ben poco e diciamo che la serie è indeterminata.
Quindi sottrarre o sommare serie tra loro ha ben poco senso (a meno che si specifichi meglio quello che si sta facendo), soprattutto in questo caso, poiché, come potete dimostrare (esercizio: provateci. Esistono maniere elementari per farlo) $ $ \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{i=1}^n \frac{1}{n}=+\infty $, ossia sommando abbastanza inversi degli interi si riesce a superare qualunque numero positivo. Nel titolo del thread si ha appunto la differenza tra due serie divergenti a $ $ +\infty $, ma la differenza tra due limiti infiniti è indeterminata.

Un esempio di paradosso cui può portare un approccio "spensierato" al problema puoi trovarlo qui http://nonciclopedia.wikia.com/wiki/%E2%88%9E%2B1%3D0

Chiarissimo

Sai che anch'io avrei scommesso per la divergenza? Però quando ho visto la dimostrazione ho dovuto ricredermi. Chissà se esiste qualche problema simile sui reciproci dei numeri primi.

--Dimenticavo: ringrazio jordan per avermi portato a conoscenza di ciò.

1. Si avete ragione circa l'uguaglianza..
2. il link postato da enigma comunque si riferisce alla convergenza quando si elimina dai termini della sommatoria la cifra 7; qui invece si chiede quando si elimina il 2009, chi completa la dimostrazione?
3. Sui numeri primi mi pare di averlo già postato